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TRAZAR LA HISTORIA DE la "ALGEBRA de CLIFFORD"

En 1950, mientras majoring en la física en Columbia U., yo leí acerca de La Algebra de Clifford En un libro escrito por el astrónomo inglés y "Fundador de Astrofísica", Sir Arthur Eddington (1882-1944). (Las observaciones sudamericanas de Eddington de un eclipse solar proporcionado la primera confirmación de Einstein de Albert la Teoría General polémica de la Relatividad.)

En su libro, Eddington dijo, "Yo no puedo creer que nada tan feo como multiplicación de matrices es una parte de essemtial del esquema de la naturaleza."

(Físico matemático, N. Salingaros, dice: "Eddington definió aparentemente las matrices verdaderas de Majorana [spinor] (verdaderamente un conjunto equivalente) antes de Majorana; él introdujo el ahora uniforme G4 la anotación, y también el concepto de chirality; él investigó la estructura del grupo de la álgebra de Dirac; y él definió la álgebra compleja de Clifford sobre un espacio de ocho dimensiones que aparece hoy en formulaciones de supersymmetry y supergravity.")

Sin embargo, pareció que ningún profesor de matemáticas ni física de Columbia me podría decir nada acerca de La Algebra de Clifford. Pero entonces fui dicho que el matemático Americano de francés, Claude Chevalley, escribía un papel en la Algebra de Clifford. Sin embargo, cuando pregunté inocentemente por "una introducción elemental a la Algebra de Clifford", Chevalley comenzó a farfullar y casi tuvo un "ataque". (Aparentemente no había introducción elemental a Clifford Algebrta hasta que desarrollara uno.)

Busqué para dirige en este durante 30 años, les escribiendo muchos cartas a matemáticos que deben saber.

Yo no me dí cuenta de, de leer Eddington, que Clifford unió el trabajo de W. R. Hamilton y Hermann Grassmann. A la edad de 17 años, yo había leído acerca de Hamilton en Los hombres de Matemáticas Por del Eric Temple Bell (1883-1960). Bell dedica un capítulo a Hamilton y alaba su trabajo temprano, pero lo hace aparece ser un recluso borracho que fingió algo llamó "quaternions". Este me predispuso (y los otros) y desvió mi búsqueda hasta el siguiente ocurrido.

En 1981, aprendí que un matemático francés, M. Riesz, (siguiendo el principal de físico, Arnold Sommerfeld (1868-1951)) había lectured en la Algebra de Clifford en 1958 en la Universidad de Maryland en College Park. Entonces aprendí que un físico Americano, David Hestenes (ahora en Universidad de Estado de Arizona), había aprendido de Riesz y escritura empezada acerca de la Algebra de Clifford.

Una segunda opinión en la importancia de este sujeto fue dada por un Cambridge U. crystallographer, Simon L. Altman, publicado (en una Asociación Matemática de diario de América, La Revista de matemáticas, Diciembre, 1989), "¿Hamilton, Grassmann, Rodrigues, y el Escándalo de Quaternion -- Qué falló con uno de los descubrimientos matemáticos mayores del siglo XIX?".

Desgraciadamente, Altman no menciona Clifford, pero describe las matemáticas básicas.

Antes William Clifford (1845-1879), tenemos:

Olinde Rodrigues (1794-1851) nacía en Francia, pero su ascendencia judía portuguesa lo negó que conseguir acceso a al É col Polytechnique, la avenida a matemáticas francesas convencionales. El fue educado en matemáticas en É col Normale y llegó a ser un banquero (ayudando a desarrollar el sistema francés de vía férrea), al hacer las matemáticas su recreación de toda la vida. Según Altman, en 1840, Rodrigues publicó una ecuación en cosenos de dirección que cubren todos casos de la rotación, inclusive una fórmula de tipo spinor en cosenos de dirección de ángulos de mitad. Este pape inició también el estudio de la transformación agrupa, Luego atribuido a Camille Jordan, a Felix Klein, y a Sophys Lie. Hay una fórmula fundamental de ecuaciones diferenciales que caracteriza las funciones ortogonales atribuido a Rodrigues. Y hay un importante la ecuación en mecánicos Acreditado a Rodrigues. Rodrigues es ignorado al peligro del estudiante.

Encontré la referencia a Rodrigues en Las rotaciones, Quaternions, y los Grupos Dobles, S. L. Altman, la Prensa de Clarendon, 1986. Altman es un crystallographer de la Universidad de Oxford, que enseñó la teoría giratoria por una década antes de escribir este libro. En P. vii, "... operarios de rotación a menudo son obtenidos como productos secundarios de los operarios angulares del ímpetu en mecánicos de quantum. En parte como resultado de este enfoque, las rotaciones son entonces parametrized por medio de los ángulos familiares de Euler, que sufre de tres defectos: ellos no son siempre extraordinarios, ellos son muy incómodos determinar en los grupos finitos de la rotación (los grupos del punto), y ellos no proporcionan un esquema para la multiplicación de rotaciones. Un enfoque enteramente diferente a rotaciones es posible, que fue introducido por Olinde Rodrigues en 1840 pero que nunca se ha utilizado. Los operarios de la rotación en este enfoque son obtenidos por un método enteramente geométrico, que... dirige la mayoría del naturalmente al parametrization de rotaciones por los parámetros que coinciden con quaternions. Estos parámetros son extraordinarios, sumamente fáciles de determinar, y - porque ellos son quaternions -- ellos proporcionan una álgebra que permite la multiplicación de rotaciones en una manera sencilla. Al mismo tiempo, y la mayoría del importante, estos parámetros determinan sin ambigüedades los factores de fase que aparecen en las representaciones angulares del ímpetu para números integrantes de mitad de quantum. [¡Quaternions descubrió independientemente, y spinors en 1840!] Este resultado lleva a una formulación rigurosa de las representaciones del grupo de la rotación, o como representaciones de projective o por medio de grupos dobles."

Hay tan pequeño acerca de Rodrigues en La Literatura que muchas equivocaciones se dicen acerca de él. Elie Cartan (1869-1951), que se acredita con descubrir el spinor, Inventó a un colaborador inexistente para Rodrigues por el nombre "Olinde" (Rogridgues' segundo nombre), un error repetido por Bell. Los otros ortografiaron mal su nombre como "Rodrigue" y "Rodrigues".

Altman se refiere al familiar "los parámetros de Euler para la rotación" como "los parámetros de Euler-Rodrigues".

Rodrigues llegó a ser el patrocinador y partidario financiero de Conde Louis Saint-Simon (1760-1825), el fundador del Socialismo francés. Después que la muerte de Santo Simon, Rodrigues llegó a ser cabeza de El Partido de socialista.

La discriminación tan religiosa y étnica, la discriminación política, y la discriminación de matemáticos Convencionales contribuidos a la oscuridad presente de este hombre creador.

Hermann Grassmann (1809-1877) llegó a ser un erudito de Sánscrito, pero en su tiempo libre girado a la investigación matemática a causa de sus intereses de padre. En 1824, su padre, Gü más enésimo publicó un libro para el pasaje elemental de thi de wi de instrucción: el rectángulo "[T]he él mismo es el producto geométrico verdadero, y la construcción de ello son la multiplicaciones realmente geométricos. ... Un rectángulo es el producto geométrico [cartesiano] de su base y la altura, y este producto se comportan del mismo modo que el producto aritmético." Así la idea del Libro II de Los Elementos De Euclides finalmente fue reordenado en la terminología aritmética por el padre, para ser desarrollado por el hijo.

Dice Hestenes: "Hermann Grassmann completó la formulación algebraica de ideas básicas en la Geometría griega empezó por Descartes. La teoría griega de proporción y proporción ahora se incorpora en las propiedades de la multiplicación de scalar y vector. La idea griega de la proyección se incorpora en el producto interior. Y el producto geométrico griego es expresado por la multiplicación exterior. .... Sólo en el trabajo de Grassmann son las nociones de la dirección, la dimensión, la magnitud de la orientación y scalar finalmente desenredó es posible entender que la distinción griega cuidadosa entre el número y la magnitud signigicance geométrico como verdadero... corresponder [ing] aproximadamente a la distinción entre un scalar y un vector. ... Sólo en el trabajo de Grassmann es las nociones de la dirección, la dimensión, la magnitud de la orientación y scalar finalmente desenredó... imposible sin la distinción más temprano vaga de los griegos y quizás sin su reformulation en cuasi términos de aruthmetic por su. Grassmann era el primer de definir la multiplicación simplemente especificando un conjunto de reglas algebraicas."

En el casi ilegible Ausdehninglehre (el Cálculo de la Extensión), Grassmann construyó "un cálculo de magnitudes extensas", una clase de algebraization de vector de la geometría , empezando con la suma del vector y la diferencia. Se ha dicho que Grassmann creó muchas clases diferentes de los productos del vector, pero los notablees son el producto interior (el producto interior), el producto exterior (relacionó al producto exterior) y, tarde en vida, un multiproduct, como la suma de estos dos producto para recuperar Hamilton quaternions. Hoy, en las formas diferenciales, el producto interior y el producto exterior resida en los sistemas diferentes, salvado por un recondite la transformación -- en el contraste absoluto a su la relación complementaria en La Algebra de Clifford, y mi propio la derivación del producto exterior del producto interior y la derivación de multiproduct de ambos.

La diferencia entre un La Algebra de Clifford y lo que es hoy "una Algebra de Grassmann" es articulado por un multiproduct añadió a su reversión:

Hestenes dice: "es justo decir, por ejemplo, que Grassmann colocó las bases para la álgebra lineal.... Mas la álgebra lineal uniforme creció sin su contribución. La duplicación frecuente de descubrimientos de Grassmann no es una marca de la originalidad limitada sino un signo que Grassmann fue afinado agudamente a una fuerza temática poderosa que maneja el desarrollo matemático, a saber, la interacción sutil entre la geometría y la álgebra. Qué conjuntos Grassmann adelante de otros matemáticos creadores es su visión sistémica de un cálculo geométrico universal. Esto lo marca como uno de los gran sintetizadores conceptuales de todo veces."

El Americano combinatorist, Gian Carlo Rota ha comentado también sobre otra equivocación del trabajo de Grassmann: "Con la subida del análisis funcional, otro dogma avanzaba a saber, la distinción entre un espacio de vectorV y su doble, V*, Y el aparear del dos visto como una forma de bilinear. .... La idea de Grassmann debía desarrollar un cálculo para el une y encuentra de variedades lineales en el espacio de projective, un cálculo que se da cuenta de verdaderamente por el progresivo [exterior] y los productos regresivos [interiores]. ...[T]he el espacio doble V* de un espacio de vector V > [es] un hyperplane... viviendo en V *] Con un lineal funcional es un paso hacia atrás en claridad."

Grassmann el producto exterior Fue descubierto también por Santo Venant en 1845; por O' Brien en 1846; y por Augustin Cauchy en 1853.

Cuándo jóvenes, Hamilton (1805-1965) encontró un interpretación de mecánicos en términos de óptica, que preparó la manera para moderno la teoría del quantum. Su reformulation de La teoría de Lagrangian en mecánicos analíticos llegó a ser el tratamiento favorito en las matemáticas del quantum, Hasta el enfoque de Feynmann Lagrangian. Y, en otra parte, yo he notado que Hamilton inventó el "vector" de palabra, lo aplicando a su reformulation de el complejo numera como vectores de números verdaderos, y su extensión de esto a quaternions.

Hamilton supo que el el número complejo modelado la rotación en de 2 D, así que él buscó y la extensión de nunbers complejo para modelar la rotación en de 3 D. Desde que el el número complejo estuvo contiguo un la unidad nueva, yo = √ ¯1, Hamilton consideró estar contiguo otro la unidad nueva, J = √ ¯1.

El cuento de cómo Hamilton luchó con esto por años ha sido dicho repetidamente. Sólo recientemente, en Una Historia de la Algebra Por B. L. van der Waerden, hizo aprendo la dificultad. Hamilton supo que el el número complejo Satisfizo un "la ley de módulos", cuál estados de van der Waerden en lo que considero una manera confusa: "la longitud del producto iguala el producto de las longitudes de los factores". Creo que mi definición es mejor: el producto binario de sumas de cuadrados iguala una suma de cuadrados.

Considere el coeficientes de producto en el el producto (a + bi)(c + di)= ac + adi + bci - bd = (ac - bd) + (ad + bc)i. Esos coeficientes son (ac - bd), (ad + bc).

Ahora, considera el la suma de sus cuadrados: (ac - bd)2 + (ad + bc)2 = a2c2 - 2abcd + b2 d2 + a2d2 + 2abcd + b2c2 = a 2c2 + b2d2 + a2d2 + b2 c2 = a2c2 + a2d2 + b2c2 + b2d2 = a2(c2 + d2) + b2 (c2 + d2) = (a2 + b2)(c2 + d2 )

Este dura es "la ley de los módulos". ¿Qué significa eso?

El término (a2 + b2)1/2 es El Módulo del el número complejo, a + bi. Y (c2 + d2)1/2 es El Módulo del el número complejo, c + di. Tan "la ley" dice "el el producto de los cuadrados de los módulos iguala la suma de cuadrados de los términos del producto.

Esta "ley" fallada para Hamilton a tratar de utilizar un el número de hypercomplex de la forma, u + vi + wj.

El problema a multiplicar dos tales números implicaron el término del producto ij. Si él lo puso a poner a cero, el la ley de módulos Fallado, y él trató varias artimañas con respecto a este producto. Cada mañana, su hijo pequeño preguntaría: "¿Bien, el Papá, usted puede multiplicar los tríos?" Y Hamilton tuvo que contestar, "No, puedo sólo agrega y los resta." Verdaderamente, él pueda multiplíquelos, pero el el producto No quedó "la ley de los módulos" y, sino esto, Hamilton consideró "la empresa entera un fracaso".

La fórmula fundamental, i2 = j2 = k2 = ijk = -1 de la teoría de quaternions vino a Hamilton como él andaba con su esposa del Observatorio de Dunsink a Dublín por el Canal Real en octubre decimosexto, 1843. El talló esta fórmula en una piedra de Puente de Broome, donde se vio por décadas -- quizás aún hoy.

(Quaternions y La revolución irlandésa.)

Sin embargo, cualquiera un papeles de Hamilton de lectura en esto quizás se confundan con el hecho que Hamilton gastó mucho veces -aparte del la álgebra y la geometría del problema -- jugando alrededor con los cuadrados de números. ¿Por qué?

En Una Historia de la Algebra, van der Waerden nos da algunos indicios, pero no explica completamente el asunto. Sucedió que el gran matemático suizo, Leonhard Euler (1707-1783) tuvo, en 1748, encontró una pauta semejante a la Ley de Módulos en el hallazgo eso cada entero se puede escribir como la suma de cuatro cuadrados de enteros. Así, este Hamilton motivado para trabajar con cuadrados de enteros. Pero el matemático francés, Adrien Marie Lwgndre (1752-1833) había mostrado, en 1830, que usted puede no, en general, el rito un entero como suma de tres cuadrados integrantes. Hamilton tenido conocido esto, él no podría haber malgastado años en el problema del "trío".

Además, Hamilton desarrolló el producto interior, el producto exterior, multiproduct de multivectors, pero hizo poco con el multiproduct.

Educado en el Colegio de Trinidad de la Universidad de Cambridge, Clifford, a la edad de 26 años, se designó a Profesor de Matemáticas de Appled y Mecánicos en el Colegio de la Universidad, Londres, en la recomendación del gran de William Clerk Maxwell (1831-79). (El Colegio de la universidad era el primer en Gran Bretaña de admitir estudiantes de mujeres.) El Presidente del Departamento de Matemáticas, Joseph L. Sylvester (1814-97) (una vez tutor de matemáticas de adolescente Florence Nightingale), el elogio especial tenido para un papel de Clifford que anticipó el campo moderno de geometrodynamics, empezando notablemente con la noción de Einstein de espacie curvo por la gravedad, Y las ideas de Wheeler y Misner acerca de "hoyos de gusano" en el espacio. Clifford escribió: "tengo de hecho:
"(1)That las porciones pequeñas del espacio son de hecho de una naturaleza análoga a colinas de litle en la superficie que es por término medio plana: a saber, que el derecho común de la geometría no es válido a ellos.
"(2)That esta propiedad de ser curvado o para ser retorcido es pasado continuamente en a otro después de la manera de una onda.
"(3)That esta variación de la curvatura del espacio es lo que sucede realmente en ese fenómeno que llamamos el movimiento del asunto.
"(4)That en el mundo físico nada más sucede pero esta variación, el sujeto (posiblemente) a las leyes de la continuidad."

Clifford dio un testimonio notable a la noción degerencia en su ensayo, "La moralidad de la creencia personal" :
"Nadie creencia de hombre es un asunto privado que lo concierne solo. palabras ...Our, nuestras frases, nuestras formas y los procesos y los modos de pensó, es la propiedad comunes, ideado y perfeccionado de la edad para envejecerse; una reliquia de familia que cada generación posterior como un depósito precioso y una confianza sagrada ser entregados en al próximo, no cambiados pero ampliados y purificados. En esto, para bueno o enfermo, es tejido cada creencia de cada hombre que tiene discurso de sus hombres. Un privilegio atroz y una responsabilidad atroz que debemos ayudar a crear el mundo en cuál la posteridad vivirá."

Hestenes dice: "Clifford puede haber sido la primera persona a [se da cuenta de]... que dos interpretaciones diferentes del número se pueden distinguir, el cuantitativo y el operacional ... Numera como una medida de 'cuánto' o 'cuántos' de algo.. [contrastó con] una relación entre cantidades diferentes. ... Interpretado cuantitativamente, [el bivector de la unidad] i Es una medida de área dirigida. Operacionalmente interpretado, i especifica una rotación en el i-- el avión. Clifford observó que Grassmann desarrolló la idea del número dirigido del punto de vista cuantitativo, mientras Hamilton acentuó la interpretación operacional. Los dos enfoques son reunidos por el producto [multiproduct]....[V]ectors geométrico son interpretados generalmente cuantitativamente, mientras spinors se interpreta generalmente operacionalmente."

Clifford escribió dos papeles que exponiendo sus ideas, pero muertos prematuramente de tuberculosis, saliendo una esposa joven y a dos chicas diminutas.

El desarrollo poco después del Gibbs-Heaviside álgebra del vector y el análisis La atención desviada de su trabajo hasta Riesz y Hestenes lo revivió.

Después de leer Riesz, Hestenes descubrió la conexión de la Algebra de Clifford con las matemáticas de La Teoría Especial de la Relatividad y de La Teoría del quantum, así que escribió Espacie la Algebra de tiempo (1966)

Entonces, con el matemático polaco, G. Sobczyk, Hestenes escribió, La Algebra de Clifford al Cálculo Geométrico, En cuál la Algebra Lineal y la Teoría y el Análisis Fija y Formas Diferenciales se derivan en la Algebra de Clifford.

En 1986 apareció una colección de artículos por varios matemáticos y físicos, Las Algebras de Clifford y Sus Aplicaciones en la Física Matemática, Eds. J. S. R. Chisholm y R. K. Common, de una 1985 NATO y SERC taller en la Universidad de Canterbury, Kent, Inglaterra.

En 1985 Hestenes aparecido' Las Bases nuevas para Mecánicos Clásicos, Mostrando a Mecánicos cuán Giratorios son facilitados por la Algebra de Clifford y Mecánicos Planetarios por Spinors.

(La nota personal.)

Había en aquel momento la promesa de una extensión, Las Bases nuevas de la Física Matemática , para articular aún más qué Hestenes hizo primero en Espacie la Algebra de tiempo, Pero nunca ha aparecido.

Si usted buscc ONLINE, dice vía Google, Usted encontrará muchos sitios fieles a la "Algebra de Clifford".

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