IL PUZZLE DIETRO "LA CARAMELLA MISER" STORIA

(Alcuno di questo può essere oltre la vostra formazione attuale. Potreste chiedere ad una persona più anziana di aiutarli. O ritornato ad esso quando siete più vecchi. Li desidero semplicemente per sapere che i miei reclami possono essere sostenuti.)

SENZA LA SOLUZIONE A QUESTO PUZZLE, STAVAMO VIVENDO NEI VILLAGGI MEDIOEVALI; con TECNOLOGIA più primitiva di quella dei Amish della Pennsilvania, USA. ASSOGGETTARE SAREBBE DIFFUSO. LE DONNE E LE RAGAZZE SAREBBERO REPRESSE, ABUSATO SPESSO, SUPERSTITION SAREBBERO DIFFUSE. Che cosa era il PUZZLE?

Potete caratterizzare Il PUZZLE come "perchè ha fatto il venire a mancare di miscelazione?". Per capire, studeremo una forma di miscelazione.

Il PUZZLE di IL CANCELLO QUADRATO ha sembrato dire, "potete applicare l'cAritmetica ai LATI DEL QUADRATO, ma non potete applicare l'Aritmetica alla relativa DIAGONALE. Così soltanto la GEOMETRIA descrive IL CANCELLO QUADRATO."

Il termine, magnitude, è stato generato dal matematico greco grande, Eudoxus di Cnidus (c.408-355 B.c.), una pupilla di Archytas di Tarentum (c. 425-350 B.c.), un seguicamma di Pythagoras. Come insegnante nel academy di Platone (427-327 B.c.), Eudoxus ha applicato la nozione di grandezza alla composizione delle linee, gli angoli, volumi nella geometria ed anche a tempo. Questa limitazione di tempo alla geometria ha condotto alla nozione che "il movimento è la geometria regolata a tempo". Quindi, la credenza quattro si è sviluppata nel academy:

  1. la diagonale del quadrato (nella geometria) non è una grandezza describable dal numero (nell'aritmetica);
  2. allora la geometria e l'aritmetica sono incompatibili;
  3. allora i meccanici dinamici (scienza di movimento) e la geometria sono incompatibili;
  4. chiunque che crede che i meccanici dinamici e la geometria siano compatibili è un seguicamma di Pythagoras.
Questo pregiudizio (tranne fra gli eruditi islamici) è prevalso fino alla rinascita. Il Galileo grande (1564-1642) è stato denominato "un Pythagorean" nel sostenimento "della legge dei corpi cadenti".

L'ultima credenza tre (sopra) deriva dal prima. La diagonale di un quadrato non è una grandezza che sia describable come numero. Che cosa questa media?

Possiamo spiegare applicando la cosiddetta "formula di Pythagorean", conosciuta più presto secoli ai priests Babylonian.

Consideri prego un giusto triangolo (uno con un angolo di 90 gradi). Lasci la b denotare la base di questo triangolo; lasci a denotare di l'altezza o altezza questo triangolod denotare la diagonale di questo triangolo. Allora dalla formula di Pythagorean: b = 3, a = 4. Allora, 32 + 42 = 9 + 16 = 25 = d2 . Ora, 25 = 52; così il triangolo ha una diagonale della lunghezza b = a = 1; così, 12 + 12 = 1 + 1 = 2 = d2; 2. Allora la diagonale "del triangolo di SquareGate" è la radice quadrata di due. Che genere di numero è questo? Il seguicamma di Pythagorean, Hippias (460-400 B.c.), ha trovato una prova che la radice quadrata fuori di 2 non è una frazione. Negli Elementi della Geometria di Euclid (365-275 B.c.), numeri sia accettabile se traducessero, per esempio, in rapporti fra i segmenti delle linee. Quei numeri sono accettabili in quel primo giusto triangolo, sopra, perché il rapporto fra i relativi segmenti di linea è commensurable. Che cosa questa media?

Illustro questo sotto rappresentare (nel colore rosso) un segmento dell'tre-unità (come nella base del primo triangolo considerato sopra). Allora schema I (in azzurro) un segmento quattro-unità (come nel altitud quel triangolo). Allora schema I (nel nero) un segmento cinque-unità (come nella diagonale del triangolo).


|----^----^----|  |----^----^----^----|  |----^----^----^----^----|
Da 3 · 4 = 4 · 4 = 12, possiamo paragonare (sotto) quattro copie del segmento dell' tre-unità a tre copie del segmento four-unit:

     |----^----^----|----^----^----|----^----^----|----^----^----|
     |----^----^----^----|----^----^----^----|----^----^----^----|
Noti prego che questi due si estendono ugualmente, cioè, sono conformi. Ciò è il significato "di commensurable": Due segmenti sono proporzionati se un multiplo di un segmento è conforme ad un multiplo dell'altro.

Ora dimostriamo -- perché 3 · 5 = 5 · 3 = 15 -- che cinque casi della base 3-segment è commensurable con tre della diagonale 5-segment:


|----^----^----|----^----^----|----^----^----|----^----^----|----^----^----|
|----^----^----^----^----|----^----^----^----^----|----^----^----^----^----|
Prego avviso, anche, che la congruenza di queste due estensioni indica il commensurability della base e della diagonale dello SquareGate. E, da 4 ·5 = 5 · 4 = 20, possiamo paragonare cinque copie dell'altezza 4-segment a quattro copie della diagonale 5-segment:

|----^----^----^----|----^----^----^----|----^----^----^----|----^----^----^----|----^----^----^----|
|----^----^----^----^----|----^----^----^----^----|----^----^----^----^----|----^----^----^----^----|
La congruenza di queste due estensioni indica il commensurability dell'altezza dello Il Cancello Quadrata con la relativa diagonale.

Le suddette dimostrazioni sono state geometriche. Possiamo anche scrivere le loro interpretazioni nell' aritmetica:

  • interpreti "quattro copie del 3-segment" come la frazione, 3/4;
  • interpreti "tre copie del 4-segment" come la frazione, 4/3;
  • interpreti "cinque copie del 3-segment" come la frazione, 5/3;
  • interpreti "tre copie del 5-segment" come la frazione, 3/5;
  • interpreti "cinque copie del 4-segment" come la frazione, 5/4;
  • interpreti "quattro copie del 5-segment" come la frazione, 4/5;
  • allora troviamo quel 4/3 · 3/4 = 1 = 5/3 · 3/5 = 5/4 · 4/5 = 1.
L'equivalenza aritmetica dei prodotti frazionari corrisponde al geometrico commensurably delle loro estensioni corrispondenti. Allora commensurbilty geometrico dei segmenti corrisponde alla rappresentazione di questi segmenti come frazione. Tuttavia, "il puzzle dello SquareGate" è che il rapporto di un lato dello SquareGate alla relativa diagonale non può essere rappresentato da una frazione.

Negli Elementi della Geometria del Euclid compare una prova (apparentemente dovuto Hippias) che la diagonale di un suqare dell'unità non è una frazione. La nozione critica, nella prova, è che ogni frazione può essere ridotta in modo che sia il numeratore che il denominatore non siano numeri pari, altrimenti il fattore comune di due può essere diviso fuori. (Ricordisi di! Un uniforme numero naturale ha la forma, 2n, per un certo numero naturale n ed il relativo quadrato ha la forma, (2n) 2 = 4n2 = 2(2n2). Similmente, un numero naturale dispari ha la forma, 2n + 1 ed il relativo quadrato ha la forma, (2n + 1)2 = 4n2 + 4n + 1 = 2(n2 + n) + 1.) La prova continua come segue:

  1. Consideri a/b = 2.
  2. Allora a = (2)b.
  3. Quadrare entrambi i lati: a2 = 2b2.
  4. Il lato destro ha la forma di un numero pari (due volte un certo numero), significante che il numero a mano sinistra, a, è un numero pari.
  5. Per denotarlo come numero pari, scriviamo a c, per un certo numero naturale c.
  6. Allora abbiamo (2c)2 = 4c2 = 2b2.
  7. Dividendosi verso l'esterno il fattore comune di due, abbiamo: 2c2 = b2.
  8. Noti prego che il lato a mano sinistra ha la forma di un numero pari (due volte un certo numero), significante che il quadr-numero dal lato destro è un numero pari. Ma abbiamo visto sopra quello soltanto che un numero pari ha un quadrato uniforme, quindi, il numero b deve essere un numero pari. Ora abbiamo il risultato che, se ci è una frazione, a/b tali che a/b = 2, allora esso devono avere la forma particolare che il numeratore ed il denominatore sono sia uniformi che non possono essere ridotti. Non ci è tale numero. La contraddizione nega il presupposto che la radice quadrata di due è di frazione.
  9. Quindi, la diagonale di un quadrato dell'unità è incommensuable con uno dei relativi lati .
Eudoxus di Cnidus (citato sopra) ha sviluppato una teoria delle proporzioni (in libro III degli Elementi della geometria del Euclid) che hanno consentito i numeri irrazionali quale la radice quadrata di due. "L'assioma di Continuità" di Eudoxus ha indicato che, dato la proporzione di due grandezze, possiamo anche dare quel multiplo di uno come multiplo dell'altro, accertandosi che i queste grandezze fossero commensurable.In particolare, questo Assioma di Eudoxus permette che la proporzione fra due sfere sia paragonata a due strutture cubiche erette sul diametro di oqui sfera.

Il mathemtician tedesco grande, Richard Dedekind (1845-1916), ha riformulato (in 1872) l'idea di Eudoxus mentre il cosiddetto "Dedekind ha tagliato":

  1. un taglio separa i numeri razionali due codici categoria, "più basso" e "tomaia", tali in che ogni numero del codice categoria più basso è di meno che ogni numero nel codice categoria superiore.
  2. Se un rappresentante del codice categoria più basso può essere formulato in un rapporto frazionario ad un presentative del codice categoria del opper, quindi il taglio in se è razionale.
  3. Se non, il taglio è irrazionale.
Dedekind quindi ha liberato questo studio dalla geometria.

Per il nostro caso attuale, possiamo assegnare al codice categoria superiore tutti i numeri di cui i quadrato eccedono due ed al codice categoria più basso tutti i numeri di cui il quadrato è meno di due. Il taglio allora è il oftwo della radice quadrata.

Possiamo mostrare questo considerando, sette cifre, l'approssimazione del oftwo della radice quadrata:

  1. (1)2 = 1 < 2 < 22 = 4;
  2. (1.4)2 = 1.96 < 2 < (1.5)2 = 2.25;
  3. (1.41)2 = 1.9881 < 2 < (1.42)2 = 2.0264;
  4. (1.414)2 = 1,999396 < 2 < (1.415)2 = 2.002225;
  5. (1.4142)2 = 1.99996164 < 2 < (1.4143)2 = 2,00024449;
  6. (1.41421)2 = 1.9999899924 < 2 < (1.41422)2 = 2,0000182084;
  7. (1.414213)2 = 1.999998409369 < 2 < (1.414214)2 = 2,000001237796;
  8. etc.
Noti prego che
  1. poichè aumentiamo l'approssimazione da una cifra,
  2. il relativo quadrato si avvicina a più vicino a due,
  3. mentre il relativo exceeder diminue giù verso due,
  4. e ci avviciniamo alla radice quadrata di due come il taglio.
Ma la Eudoxian teoria delle proporzioni ha motivato i matematici greci antichi per abbandonare le strutture discotinue o discrete di aritmetica per le strutture continue della geometria per descrivere i rapporti fra i segmenti e tali. E, da tempo è stato considerato continuo, esso inoltre è stato separato da aritmetica. Ciò ha significato che i concetti dei meccanici dinamici, quali velocità, accelerazione, forza, ecc., non potrebbero essere definiti in termini di aritmetica.

Questa situazione è continuato in Europa Occidentale fino alla Rinascita, quando alcune hanno adottato gli avanzamenti degli eruditi Uslamici come descritti nella lima, "la cronologia", connessa con questo Website.

Ricapitolando:
  1. Il puzzle coinvolge il incommensurability della diagonale con il lato di un quadrato.
  2. Ma questo puzzle può essere risolto se un nuovo genere di numero potesse indicare tali "irrationals" come la radice quadrata di due.
  3. I numeri irrazionali finalmente sono stati accettati -- con tutte le conseguenze celebri all'inizio, generando l'odierna civilizzazione e gli schiavi meccanici ed elettrico-elettronici che li servono!