Por El Teorema Fundamental de la Álgebra, una ecuación algebraica del nth grado tiene raíces, todo resueltas por la solución de la ecuación. Puesto que este equación es construido aplicando las operaciones de la aritmética en una cierta orden, sigue que la solución puede proceder DESHACIENDO de esas operaciones aplicando su LO CONTRARIO en la orden apropiada. Esto se puede ilustrar por un caso familiar, estudiado en álgebra de la Escuela Secundaria.

---

Derivación de La Fóormula Cuadrático

• Nuestra meta es un fórmula cuadrático con "término algenraic", x, en del lado izquierdo de una forma de ecuatión, y de las constantes literales (sustitutos para los números) en el derecho-lado.
• Comenzamos con la ecuación cuadrática general:

  		ax2 + bx + c = 0 (1)

• Necesitamos simplificarlo como ecuación "monico" con el coeficiente principal de la unidad. Desde el término más alto de la ecuación, x², tiene un multiplicador de a, nosotros invierte esto por la operación inversa de la división, dividiendo (1) a través por a:

  		x2 + (b/a)x + c/a = 0. (2)

• Para obtener que la forma final (descrita arriba), nosotros simplifica más lejos (2) restando el término constante de los literales, c/a, de ambos lados de (2):

  		x2 + (b/a)x = -(c/a) (3)

• Ahora necesitamos reducir esta ecuación cuadrática a una ecuación linear invitando lo contrario de la operación que le hace la ecuación cuadrática, a saber, lo contrario del exponentiation que cuadrado-esta' arraigando. Sabemos que el cuadrado-arraigar es el más fácil para una forma binomial, por ejemplo u² + 2uv + v² = (u + v)², que es raíz cuadrada u + v. La ecuación (3) no tiene esa forma, sino se puede modificar en esa forma binomial::

  		(x + k)2 = x2 + 2kx + k1 = 0 (4)

• El término 2kx de la parte ampliada de (4) corresponde al término (b/a)x en (3). El término k en la forma binomial cerrada de (4) corresponde tan a (b/a), en términos de la ecuación (3).
• Consideramos tan puente de (3) considerando una forma binomial cerrada:

  (x + b/2a)2 = x2 + (b/2a)x + (b/2a)x + b2/4a2 = x2 + (b/a)x + b2/4a2.(5)
  

• Notamos de quienes (5) diferencia de del lado izquierdo (3) teniendo un término colindado, la fuente b²/4a². Podemos mantener igualdad agregando tal término al derecho-lado de (3), obteniendo:

  (x + b/2a)2 = b2/4a2 - c/a. (5)

• Del lado izquierdo de (5) es el "cuadrado-rootable", pero el derecho-lado está solamente parcialmente tan. Necesitamos los dos términos del derecho-lado tener un menos denominador común, a saber, 4a².
• Recurrimos otra vez "al revés aritmética", multiplicando numerador y el denominador del término - c/a, para hacer los termos equivalentes-4ac/4², obteniendo:

  
          (x + b/2a)2 = b2/4a2 - 4ac/a2 = (b2 - 4ac)/4a2.(6)

• Ahora, podemos obtener una forma linear tomando la raíz cuadrada de ambos lados de (6):

  		x + b/2a = ±((b2 - 4ac)/4a2) = ±((b2 - 4ac))/2a (7) 

• Pero necesitamos una solución cuadrática del fórmula con solamente x en del lado izquierdo. Otra vez vía "al revés aritmética", restando el término (agregado) de b/2a de ambos lados, obteniendo la forma de estándar de la ecuación cuadrática:

  
  x + b/2a = b/2a ±((b2 - 4ac))/2a  = (b ±(b2 - 4ac))/2a. (8)

  ---

  Nota: Este "truco" (1) de la modificación en una forma para cuadrado-arraigar, y (2) < I>performing el operation< de la raíz cuadrada fue emulado (en 1928) por el físico matemático British, P. A. M. Dirac (x-y) -- en su teoría relativista del electrón -- obtener la ecuación de onda relativista (linear) de a ("relativista") de la ecuación de onda de Klein-Gordon (segunda orden en espacio, pero de primer orden en tiempo) derivada de la ecuación de onda (nonrelativistic) de Schrödinger.

  Después de poner la ecuación de Klein=Gordon en la forma conveniente (comparable a los pasos (1)-(6) arriba), Dirac utilizó (sin completamente realizarlo) una operación de la matriz equivalente al multivector de muchos productos. En libros de textos, la torpeza de matrices requiere cerca de cuatro páginas confusas explicar esto "sqaure-que arraiga" -- alcanzar una ecuación de onda que es (relativistically) de primer orden en espacio y tiempo, y contener vuelta -- mientras que el "cuadrado-arraigar" se puede escribir claramente en cuatro líneas vía multiproduct.