El LOGARITMO es uno de los dos inversos distintos de exponentiation: log_ba = c si, y sólo si, b ^c= a. Pero log_ba es irracional ("una secuencia que no repite o decimal") siempre que los números a, b no tengan ningún factor compartido. Este da el logaritmo (inverso exponencial) sólo parcial sobre los números racionales. Queremos que el logaritmo sea total.

Colindando, a las operaciones finitary operaciones (adición, multiplicación, etc.) de aritmética, el transfinitary operación del límite (como antes dado), podemos definir secuencias Cauchy (antes dado) representar logaritmo, dando total el inverso logarítmico de exponentiation.

---

En sentido estricto, estas secuencias Cauchy son vectores infinitos de números racionales. Pero el la representación decimal de números racionales nos permite reducir todos tales vectores a tres tipos:

1. log_ba = {n, n, n, n...}, que es obviamente integral.
2. log_ba < 1, un tipo "pseudo-egipcio" typo, que puede ser representado oacercado por un decimal con cero característico.
3. o excepciones a los dos primeros tipos.

Pero, claramente, la representación decimal cerca tres tipos de vectores infinte, de ahí esconde su aspecto de vector.

Sin embargo, otra vez, no hemos abandonado los números naturales de los cuales tomamos nuestro principio. Cada el verdadero número de número es equivalente.

• un rector infinito de la forma, [r₁ , r₂ , r ₃,...], en donde el r _i son números racionales; y la secuencia es una secuencia Caucy (con un límite);
• cada uno números racionales, r_i, es equivalente a un vector de vectores. [[a, b], [c, d], en donde a, b, c, d son números naturales. Así, los verdaderos números son números simplemente naturales sobre a nivel de transfnito.

Entonces hemos demostrado la existencia de uno de los inversos de exponentiation, a saber, logaritmo.

Ahora, déjenos ver el otro INVERSO para EXPONENTIATION.