EL ROMPECABEZAS OCCULTADO EN "EL MISER"

Sin la solución a este rompecabezas, estariamos viviendo en aldeas mediavales, con tecnologia más primitiva que la de los Amish de Pennsylvania; la esclavitud ser´ian extensos; reprim&iacure;an a las mujeres y las muchachas, abusado a menudo; supersticíon extensa. ¿Cúal era rompecabezas -- cuál se convirtió de Pythagoras (569-500 B.C.)?

El rompecabezas de la puerto de cuadrada se parecia usted puede aplicar aritméyica a los lados de cuadrado, pero usted no puede aplicar aritméTICA a su diagonal. Tan solamente geometía describe la puerta cuadrada.

El término, magnitude, fue creado cerca el gran matemático Eudoxus of Cnidus (c. 408-355 B.C.), una pupola de Archytas de Tarentum (c. 425-350 B.C.), una seguidor de Pythagoras. Eudoxus, como un profesor en la academía de Plató (427-347 B.C.), applicada la noción de la magnitud a la composición de lineas, ángulos, volúmenes in geometría y para el tiémpo. La restricción del tiempo a la geometía conjudo a la discusión que "El movimento es geometía fijada al tiempo". Así pues, la creencia tres se presentó en la academia de Platón:

  1. la diagonal de un cadrado (en geometría) no es una magnitud escrita como número (en aritmética);
  2. entonces la geometría y la aritmética son incompatibles;
  3. entonces los mecánocos dinánicos (la ciencia del moviemento) y geometríia son incompatibles;
  4. cualquier persona que creyera que el movimiento y la aritmética son compatibles es un seguidor de Pythagoras.
Este prejudicar (excepto entre eruditos islámicos) prevaleció hasta el naciemento. El gran Galileo (1564-1642) fue llamado un seguidor de Pythagoras porque él declaró una ley de cuerpos que caín, usando aritmética.

La creencia pasada tres arriba deriva primera: que la diagonal de un cuadrado no es un magnitud escrita como número. ¿Como está esto tan?

Podemos explicar esto usando el fórmula supuesto de Pythagoras (conocido a los centenares babilónicos de los sacerdotes de años de Pythagoras).

Por favor, considere un triángulo derecho (uno con un angulo igual 90 grados). Deje b ser la base de este triángulo; deje a ser la altitud de este triángulo; y deje d sea la longitud de diagonal de este triángulo. Entonces, por el fómula de Pythagoras: b2 + a2 = d2. Por ejemple, deja b = 3, a = 4 . Entonces, 32 + 42 = 9 + 16 = 25 = d2 . Entonces, 25 = 52; entonces, la longitud de diagonal de este triángulo es d = 5. Así, la diagonal de este tríngulo es un magnitud escrita como número.

Ahora, por favor, considere el triángulo derecho en el cuadrado de la unidaden el diagrama en la página delantera de este sitio del Web. En él, tenemos b = a = 1; entonces, 12 + 12 = 1 + 1 = 2 = d2, d = 2. Entonces la diagonal de el cuadrado de la unidad es la raíz cuadrado de dos. Ahora, el número dos es un número. ¿Pero es la raíz cuadrado de dos un número? El seguidor, Hippias (c. 460=400), encontró una prueba que la raíz cuadrado de dos no esa una fracción.

Los babilónicos antiquos no sabia al parecer la puesta a esta pregunta, porque la puentearon. POseyeron un algoritmo para approximar la raíz cudrada de cualquier número. Podrian encontrar tan un fraccióon que satisfaria cualquier case dado. Pero los Griegos tomaron el desafióo.

En Los Elementos de Geometría de Euclid (365-275 B.C.), los números son aceptable si pueden ser traducides, por ejemplo, a relaciones entre los segmentos de la linea. Los números son aceptable para el triángulo 3-4-5 arriba, porque sus segmentos acociados son commensurable. ¿Que este medio?

Illustraté dibujando debajo (en rojo) de un "3-segmento" (por ejemplo base de ese triáangulo) y (en azul) de un "4-segmento" (por ejemplo la altitud de ese triáangulo), y (en negro) de un "5-segmento" (para la diagonal de ese triángulo): 


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Puesto que 3 · 4 = 4 · 3 = 12, dibujaré debajo de una extención de cuatro 3-segmentos, y bajo ella una extención de tres 4-segmentos: 

                |----^----^----|----^----^----|----^----^----|----^----^----|
                |----^----^----^----|----^----^----^----|----^----^----^----|
Usted puede ver que estos segmentos ampliados son iguales. Éste es el significado geométrico "commensurable": Dos segmentos son commensurable si, y solamente si, un multiplo de los iguales de un segmento (amplía igual) que un multiplo del otro segmento.

Demonstrar -- puesto que 3 · 5 = 5 · 3 = 15 -- la 3-segmento base es commensurable con la 5-segmento diagonal:


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Una vez más la equivalencia de extenciiones significa estos segmentos son commensurable. Pueesto que 4 · 5 = 5 · 4 = 20, demonstramos la altitude 4-segmento es commensurable con la diagonal 5-segmento:

|----^----^----^----|----^----^----^----|----^----^----^----|----^----^----^----|----^----^----^----|
|----^----^----^----^----|----^----^----^----^----|----^----^----^----^----|----^----^----^----^----|
Y la equivalencia de extenciones de estos segments son commensurable.

El significado aritmético de "commensurable" se puede explicar de una diversa manera, y usted puede ver que la dos interpretaciones convienen. Pero éste segundo explicará porqué "la diagonal del cuadrado de la unidad es incommensurable con sus lados".

Interpretamos "cuatro del segmento tres" como cociente o la fracción, 4/3. Interpretamos "tres del segmento cuatro" como cociente o la fracción, 3/4. Interpretamos "cinco del segmento tres" como cociente o la fracción, 5/3. Interpretamos "tres del segmento conco" como cociente o la fracción, 3/5. Interpretamos "cinco del segmento cuatro" como cociente o la fracción, 5/4. Interpretamos "cuatro del segmento cinco" como cociente o la fracción, 4/5. Ahora, 4/3 · 3/4 = 1 = 5/3 · 3/5 = 5/4 · 4/5 = 1.

Hecho de que unidad igual de estos productossignifica, en aritmético, la equivalencia geométrica de las extenciones comparados -- esas son commensurable.

Entonces commensurable en geométria correspondo en aritmética a la reprsentacion como fracciones y productos de fracciones. Pero la falta ahora ocurre. ¡Para representar la relación de un lado del cuadrado de la unidad con su diagonal, no podemos utilizar una fraccion! ¡Un lado y la diagonal son incommensurable!

La diagonal del cuadrado de la unidad iguala la raíz cuadrado de dos. En sus Elementos de La Geométria, Euclid dió un prueba que la raíz cuadrado de dos es no cociente o una fracción. La noción critica es que una fracción no puede tener un numerador uniforme y un denominador uniforme, puesto que el factor comón dedos se puede dividewr hacia fuera. Aquí es donde la falta ocurre en el prueba. (¡Recuerde! Un número par tiene la forma 2n, donde está un cierto número la n, y un número impar tiene la forma 2n + 1. También, el cuadrado de un número par es uniforme: (2n)2 = 4n2 = 2(2n2; y el cuadrado de un número impar es impar: (2n + 1)2 = 4n 2 + 4n + 1 = 2(n2 + n) + 1.) Procedimento de la prueba:

  1. Considere a/b = 2.
  2. Entonces a = (2)b.
  3. Está ajustando ambos lados: a2 = 2b2. El número en el derecho es dos veces un cierto númerp -- el significado que el número en el lado izquierdo (a 2)es un número par, así a es un número par.
  4. Demonstrar esto, lo a dejó ser dos veces un cierto número: a 2c.
  5. Entonces tenemos (2c)2 = 4c2 = 2b2.
  6. Y podemos dividimos fuera del factor común de dos: 2c2 = b2 , significando que el derecho es uniforme, por lo tanto, es decir, b es un número par.
  7. Ahora tenemos el resultado que a/b = 2 implica que el numerador y el denominador de esta fracción es uniforme y no puede se reducido. Esto es una contradicción.
  8. Por lo tanto, la asunción inicial -- que la relación entre el lado y la diaonal de un cuadrado de la unidad es una fracción -- es falsa.
Eudoxus de Cnidus (citado arriba) desarrolló una teoria de las proporciones (el el Libra III de Los elementos de La Geométria) que permitieron números irrationales tales como la cuadrado de dos. El "axioma de la continuadad" de Eudoxus indica que, dado el cociente o la proporción de dos magnitudes, podemos encontrar un multiplo de cualquier magnitud que exceda el otro. Este asegura de que las magnitudes sean commensurable. Especialmente, el axioma de Eudoxus permite que la proporción entre dos esefera sean comparadas con la proporción entre dos estructuras cubicus engidas en un diámtrico de cada enfera.

El gran matemática alemán, Richard Dedekind (1845-1916), reformuló (en 1872) la idea de Eudoxus en lo que llamado "el Dedekind cortado".

  1. Un corte separa los números racionales en dos clases (más bajo y alta) tales que cada miembro de una clase es menos que cada miembro de la segunda clase.
  2. Si un represante de la peca clase se puede formular en cociente a un representante de la mayor clase, el corte un número es un número racional.
  3. Si esto no puede ser hecha, el corte es un número irracional.
Dedekind de tal mode liberó esta estudio de gemetría.

Para considerar el clase de la raíz cuadrado de dos, elegimos para la clase alta todos los números que cuadrado excedan de dos, y en la clase mas baja el resto de los números el corte es la raíz cuadrada de dos.

Podemos ver esto considere 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, los digitos del etc. en la approximación a la raíz cuadrado de dos.

  1. (1)2 = 1 < 2 < 22 = 4;
  2. (1.4)2 = 1.96 < 2 < (1.5)2 = 2.25;
  3. (1.41)2 = 1.9881 < 2 < (1.42)2 = 2.0264;
  4. (1.414)2 = 1,999396 < 2 < (1.415)2 = 2.002225;
  5. (1.4142)2 = 1.99996164 < 2 < (1.4143)2 = 2,00024449;
  6. (1.41421)2 = 1.9999899924 < 2 < (1.41422)2 = 2,0000182084;
  7. (1.414213)2 = 1.999998409369 < 2 < (1.414214)2 = 2,000001237796;
  8. etc.
Note por favor que
  1. como aumentamos la aproximación a la raíz cuadrado del dos en un digito,
  2. su cuadrado más bajo aumenta hacia dos
  3. mientras que el mayor cuadrado disminute hacia dos.
  4. Estamos exprimiendo la raíz cuadrada de dos como el corte.
Esto motivó a matemáticos del Griego amtiquo para abondonar los estructures discontinuos or discretos de la aritmética a las epoca en discribir "magnitudes", adhierendo solamente a las magnitudes continuas de geoméltria. También, desde tiempo fue pensado para ser continuo, esto se paricia decir que moviemento no se puede formular en aritmética. Por lo tanto, ningunos conceptos definidos la velocida, aceleración, fuerza, etc., para los mecanicós teoría.

Esto sesturo Europa occidental trasera, hasta el renaciemento cuando algo podria adoptar los avances matemáticos de eruditos islámicos, según lo demonstrado en el archivo de la "Chronologia" en este sitio del Web.

En Resumen: El rompecabezas es que el diagonal de un cuadrado es incommensurable con su lado. Pero este rompecabezas puede solucionar par una nueva clase de número, la raíz cuadrado de dos com número irracional. Irracionales fue acceptasdo de eventual, con todos la consecuenctas conocidos sobre y en la pagina delantera de este sitio del Web. Esto transformó la civilación, terminado esclavitud y lanzando revoluciones industriales mecánicoas, eléctricas y electrónicas, con los "esclaves mecánicas y elécticas y electrónicos" para servimos.