PUZZLE

LE PUZZLE A ANNOUNCÉ "LE SUCRERIE MISER"

Sans solution à ce puzzle, nous vivrions dans les villages médiévaux; avec le technologie plus primitif que celui des Amish de la Pennsylvanie; l'esclavage et l'semi-esclavage seraient répandus; des femmes et les filles seraient réprimées, souvent maltraité, superstitution répandu. Quel était le puzzle?
Le PUZZLE de PORTECARRÉ a semblé indiquer, "Vous pouvez vous appliquer l'cArithmétique aux CÔTÉS DE LA PLACE, mais vous ne pouvez pas vous appliquer l'Arithmétique à sa DIAGONALE. Ainsi seulement la GÉOMÉTRIE décrit LE SQUAREGATE."
La limite, grandeur, a été créée par le grand mathématicien grec, Eudoxus de Cnidus (c. 408-355 B.c.), une pupille d'Archytas de Tarentum (c. 425-350 B.c.), un palpeur de Pythagoras. En tant que professeur dans l'académie de Platon (427-327 B.c.), Eudoxus s'est appliqué la notion de la grandeur à la composition des lignes, les angles, volumes dans la géométrie et également au temps. Cette restriction de temps à la géométrie a mené à la notion que "le mouvement est la géométrie réglée au temps". Par conséquent, la croyance quatre s'est développée dans l'académie:

la diagonale de la place (dans la géométrie) n'est pas une grandeur descriptible par le nombre (dans l'arithmétique);
puis la géométrie et l'arithmétique sont incompatibles;
puis la mécanique dynamique (la science du mouvement) et la géométrie sont incompatibles;
toute personne croyant que la mécanique dynamique et la géométrie sont compatibles est un sectateur de Pythagoras.

Ce préjudice (excepté parmi les disciples islamiques) a régné jusqu'à la Renaissance. Grand Galilée (1564-1642) s'est appelé un "Pythagorean" en préconisant "une loi de la chute des corps".
Dernière croyance la trois (ci-dessus) dérivent dès la début. La diagonale d'une place n'est pas une grandeur qui est descriptible comme nombre. Que ce moyen?
Nous pouvons expliquer en s'appliquant la "formule de Pythagorean" soi-disant, connue des siècles plus tôt aux prêtres Babyloniens.
Considérez svp une bonne triangle (une avec un angle de 90 degrés). Laissez b dénoter la base de cette triangle; laissez a dénotent l'altitude ou la taille de cette triangle; laissez d dénoter la diagonale de cette triangle. Alors par la formule de Pythagorean: b² + a² = d². Par exemple, laissez 25 = 5^{2d = 5}. Ainsi, la diagonale de cette triangle peut être mesurée par un nombre.
Maintenant, considérez svp la bonne triangle dans la place d'unité (diagrammed sur le FrontPage de ce Website). Dans cette triangle, nous avons b = a = 1; puis, 1² + 1² = 1 + 1 = 2 = d²; d = 2. Alors la diagonale "de la triangle du PorteCarré" est la racine carrée de deux. Quel genre de nombre est ceci?
Le sectateur de Pythagorean, Hippias (460-400 B.c.), a appparently trouvé une preuve que la racine carrée outre de 2 n'est pas une fraction.
Les Babyloniens antiques apparemment n'ont pas su la réponse à cette question, parce que ils l'ont déviée. Ils ont possédé un ALGORITHME merveilleux pour RAPPROCHER LA RACINE CARRÉE de TOUT NOMBRE. Ainsi ils pourraient trouver une fraction rapprochante qui satisferait n'importe quel cas donné. Apparemment, ces prêtres Babyloniens pratiques n'ont pas tracassé avec la question théorique: "FAIT Une TELLE FRACTION EXISTENT EXACTEMENT?". Mais les Grecs, audacieux "pour aller théoriquement où les prêtres craignent de marcher", ont relevé le défi.<> Dans Les Éléments de La Géométrie d'Euclid (365-275 B.c.), nombres soyez acceptable s'ils traduisaient, pour l'exmple, en relations entre les segments des lignes. Ces nombres sont acceptables dans cette première bonne triangle, en haut, parce que la relation entre ses segments de ligne sont commensurable. Que ce moyen?
J'illustre ceci ci-dessous par diagramming (dans le rouge) un segment d'trois-unité (comme dans la base de la première triangle considérée ci-dessus). Puis nous diagramme (dans le bleu) un segment de quatre unités (comme dans l'altitud de cette triangle). Puis nous diagramme (dans le noir) un segment five-unit (comme dans la diagonale de la triangle).
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Depuis 3 · 4 = 4 · 4 = 12, nous pouvons comparer (ci-dessous) quatre copies du segment d'trois-unité à trois copies du segment de quatre unités:
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Veuillez noter que ces deux se prolongent également, c.-à-d., ils sont conformes. C'est la signification de "commensurable": Deux segments sont proportionnés si un multiple d'un segment est conforme à un multiple de l'autre.
Nous démontrons maintenant, parce que 3 · 5 = 5 · 3 = 15 que cinq exemples de la base 3-segment est commensurable avec trois de la diagonale 5-segment:
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Notification, aussi, que la congruence de ces deux prolongements indiquent le commensurability de la base et de la diagonale de la portecarré. Et, depuis 4 ·5 = 5 · 4 = 20, nous pouvons comparer cinq copies de l'altitude 4-segment à quatre copies de la diagonale 5-segment:
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La congruence de ces deux extensins indique le commensurability de l'altitude du portecarré avec sa diagonale.
Les démonstrations ci-dessus ont été géométriques. Nous pouvons également écrire leurs interprétations dans l'arithmétique:

interprétez "quatre copies du 3-segment" comme fraction, la 3/4;
interprétez "trois copies du 4-segment" comme fraction, la 4/3;
interprétez "cinq copies du 3-segment" comme fraction, la 5/3;
interprétez "trois copies du 5-segment" comme fraction, la 3/5;
interprétez "cinq copies du 4-segment" comme fraction, la 5/4;
interprétez "quatre copies du 5-segment" comme fraction, la 4/5;
alors nous trouvons cela 4/3 · 3/4 = 1 = 5/3 · 3/5 = 5/4 · 4/5 = 1.
L'équivalence arithmétique des produits partiels correspond au géométrique commensurably de leurs prolongements correspondants.
Alors commensurbilté géométrique des segments correspond à la représentation de ces segments comme fraction. Cependant, "l'puzzle du la portecarré" est que la relation d'un côté du la portecarré à sa diagonale ne peut pas être représentée par une fraction.
Dans Les Éléments de La Géométrie d'Euclid apparaît une preuve (apparent en raison à Hippias) que la diagonale d'un suqare d'unité n'est pas une fraction. La notion critique, dans la preuve, est que chaque fraction peut être réduite de sorte que tous les deux numerator et dénominateur ne soient pas des chiffres pairs, autrement le facteur commun de deux peut être divisé dehors.
(Rappelez-vous! Un nombre même normal a la forme, 2n, pour un certain nombre normal n, et sa place a la forme, (2n)² = 4n². De même, un nombre normal impair a la forme, 2n + 1, et sa place a la forme, (2n + 1)² = 4n² + 4n + 1.
La preuve procède comme suit:

Considérez a/b = 2.
Puis a = (2)b.
Ajuster les deux côtés: a² = 2b².
Le côté droit a la forme d'un chiffre pair (deux fois un certain nombre), signifiant que le nombre à gauche, a, est un chiffre pair.
Pour le dénoter comme chiffre pair, nous écrivons a c , pour un certain nombre normal c.
Alors nous avons (2c)² = 4c² = 2b².
Se divisant hors du facteur commun de deux, nous avons: 2c² = b².
Notez que le côté à gauche a la forme d'un chiffre pair (deux fois un certain nombre), signifiant que l'ajuster-nombre du côté droit est un chiffre pair. Mais nous avons vu au- dessus de celui seulement que un chiffre pair a une place égale, par conséquent, le nombre b doit être un chiffre pair.
Nous avons maintenant le résultat qui, s'il y a une raction, a/b tels que a/b = 2, alors il doivent avoir la forme particulière qui le numérateur et le dénominateur sont égaux et ne peuvent pas être reduced . Il n'y a aucun tel nombre. La contradiction nie la prétention initiale que la racine carrée de deux est une fraction.
Par conséquent, la diagonale d'une place d'unité est incommensuable avec l'un ou l'autre de ses côtés.
Eudoxus de Cnidus (cité ci-dessus) a développé une théorie de proportions (en livre III des éléments d'Euclid de la géométrie) qui ont permis des nombres irrationnels tels que la racine carrée de deux. "L'axiome de la continuité" d'Eudoxus a indiqué que, donné la proportion de deux grandeurs, nous pouvons également donner ce multiple d'un comme mulltiple de l'autre, s'assurant que ces grandeurs sont commensurable. En particulier, cet axiome d'Eudoxus permet à la proportion entre deux sphères d'être comparée à deux structures cubiques érigées sur le diamètre de chaque sphère.
Le grand mathematician allemand, Richard Dedekind (1845-1916), a reformulé (en 1872) l'idée d'Eudoxus pendant que "l'Dedekind soi-disant coupait":

Une coupe sépare les nombres raisonnables dans deux classes, "inférieur" et "haut", tels que chaque nombre de la classe inférieure est inférieur chaque nombre dans la classe aristocratique.
Si un représentant de la classe inférieure peut être formulé dans une relation partielle à un représentant de la classe d'opper, alors la coupe elle-même est rationale.
si pas, la coupe est irrationnelle.
Dedekind a de ce fait libéré cette étude de la géométrie.
Pour notre cas, nous pouvons assigner à la classe aristocratique tous les nombres dont les places excèdent deux, et à la classe inférieure tous les nombres dont la place sont moins de deux. La coupe est alors la racine carrée de deux.
Nous pouvons montrer ceci en considérant un à sept chiffres dans l'approximation de la racine carrée de deux:

(1)² = 1 < 2 < 2² = 4;
(1.4)² = 1.96 < 2 < (1.5)² = 2.25;
(1.41)² = 1.9881 < 2 < (1.42)² = 2.0264;
(1.414)² = 1,999396 < 2 < (1.415)² = 2.002225;
(1.4142)² = 1.99996164 < 2 < (1.4143)² = 2,00024449;
(1.41421)² = 1.9999899924 < 2 < (1.41422)² = 2,0000182084;
(1.414213)² = 1.999998409369 < 2 < (1.414214)² = 2,000001237796;
etc.
Veuillez noter que

car nous augmentons l'approximation par un chiffre,
sa place s'approche plus près de deux,
tandis que son exceeder diminue en bas du towrd deux,
et nous approchons la racine carrée de deux comme coupe.
Mais d'Eudoxian la théorie de proportiones a motivé les mathématiciens grecs antiques pour abandonner les structures discrètes de l'arithmétique pour les structures continues de la géométrie pour décrire des relations entre les segments et tels. Et, depuis le temps a été considéré continu, il était séparé également de l'arithmétique. Ce moyen que des concepts de la mécanique dynamique, tels que la vitesse, l'accélération, la force, etc., ne pourraient pas être définis en termes d'arithmétique.
Cette situation continuée en Europe de l'ouest jusqu'à la Renaissance, quand certains ont adopté les avances des disciples Islamiques comme décrit dans le dossier, "Chronologie", liée à ce Website.
En résumé:

Le puzzle implique l'incommensurability de la diagonale du côté d'une place.
Mais ce puzzle peut être résolu si un nouveau genre de nombre pourrait indiquer de tels "irrationels" comme la racine carrée de deux.
Irrationels par la suite ont été acceptés -- toutes les conséquences étant noté au départ, créant le civiliation d'aujourd'hui et les esclaves mécaniques et électrique-électroniques nous servant!