DIFMDL

Espalda El MODELO ADMISIBLE DE LA DIFERENCIA

La sustracción para el sistema natural del número se define en términos de la adición, para ser su inverso: Para números naturales a, b, c: a — b = c si, y sólo si, a = b + c -- eso es, el sustraendo (b) restado del minuendo (a) iguala la diferencia (c) si, y sólo si, el minuendo ( a) iguala el sustraendo (b) añadió a la diferencia (c). Así, 7 — 3 = 4, porque 3 + 4 = 7.
Esto restringe la sustracción natural del número a esos definido o las diferencias admisibles tanto que el sustraendo no es más que el minuendo. Esta diferencia es "admisible" porque permite un resultado natural del número; la desviación de esto rinde no resultado natural del número.
Sin embargo, "allowability" restringe severamente la sustracción como un inverso parcial para la adición En el sistema natural del número. Y deseamos que la sustracción sea el suma (son como la adición natural del número y la multiplicación).
¡La enseñanza típica de esto se parece a estafar! "Usted no puede restar 5 de 2 -menos poniendo un signo chistoso del arranque delante de un 2: ^-2." ¡El dicho que esto se puede realizar en un sistema nuevo y diferente del número -- los enteros -- hace poco para la credibilidad, desde que invoca lo que parece ser una regla extraña, "La Ley de Signos": "Un número negativo multiplicado por un número negativo iguala un número positivo" Qué?
Sin embargo, los estudiantes no son mostrados eso una sustracción aritmética se puede engendrar dentro del sistema natural del número. ¡Sin estafador o reglas extrañas!
Buscamos el cierre para la sustracción -- pero el cierre falla en el sistema natural del número.

El cierre es quizás el "la mayoría de las reglas sagradas de todas matemáticas", desde que creo que cada sistema matemático implica el cierre bajo relaciones o funciones o bajo las operaciones. ¿Pero qué es, por ejemplo, el cierre operacional?
Permita o denote alguna operación aritmética. Entonces, permitió p, q pertenezca al mismo sistema de elementos (como cuando ambos son los números naturales). Entonces, dado p o q = r. El cierre requiere r para ser del mismo tipo como p, q.
(La tarea: el hallazgo que los números naturales constantes se cierran -retiene eveness -- bajo operaciones aritméticas. Pero los números impares no se cierran.)

Qué matemáticos llaman la estrategia de 2 procedimientos es utilizado en pruebaes, volviendo a Euclides, y puede ser utilizado para verificar los cálculos. Su lógica es necesaria, pero no suficiente -- significando que un resultado negativo es unquestinable.

Usted "demuestra" (o calcula) en una manera legítima.

Usted hace así en otra manera legítima.

Si los dos resultados (respuestas) concuerdan, quizá usted es correcto. Pero si ellos no convienen, usted sabe definitivamente algo inexacto ha ocurrido.

La estrategia de 2 procedimientos se puede utilizar también cuándo

La enseñanza un método nuevo de la solución que maneja los problemas el método viejo de la solución se hunde en.
Resolver un problema nunca procuró antes.
Es demasiado difícil que la mayoría de los estudiantes haga ambos de éstos en un solo desempeño. Tan usted simplifica el trabajo.

Usted enseña el procedimiento nuevo de la solución aplicándolo a un problema fácilmente soluble por el método viejo, utilizando el último para verificar el uso del procedimiento nuevo de la solución.
Cuándo procedimiento nuevo de solución se ha dominado, usted lo aplica a un problema que usted no procuraría con el procedimiento viejo de la solución.
Se quejarán muchos estudiantes: "¿Por qué hace tengo que lo hacer de manera difícil, cuándo yo lo puedo hacer de manera fácil?" Pero ellos aprenden de esto.
Así, utilizaremos la estrategia de 2 procedimientos a descubrir las reglas que llevan a el entero aritmético, en donde sustracción "siempre trabajo". Eso es -- sin estafar y encontrando las reglas extrañas -- engendraremos las formas del Sistema de Entero dentro del Sistema Natural del Número.

Empezamos con la parte restringida del sistema natural del número -- en cuál el sustraendo es nunca más que el minuendo -- y el gusto que como un sistema especial de número: el sistema de la diferencia admisible de números naturales. Y avanzamos cumpliendo dos condiciones:

el cierre (retiene el tipo);
La estrategia de 2 procedimientos (la manera más larga del cierre de resolver un problema rinde la misma respuesta como la manera familiar).
Por la Definición, la diferencia: <<minuend>> — <<subtrahend>> = << difference>>.
La Diferencia admisible: (a _m — b_s) = r_d, dónde a, b, r son todos números naturales. (Los subíndices de nota, "m", "s", "d", respectivamente para "minuendo", "sustraendo", "differencia".)
Permita O denote cualquier operación aritmético. Entonces consideramos la forma del cierre: (a — b) o (c — d) = (w — f) Þ "Una diferencia admisible combinada con una diferencia admisible rinde una diferencia admisible".

¿Usted empieza derivando las reglas de la equivalencia para diferencias admisibles - "Cuando son dos diferencias admisibles igualan?" -- de la definición de la sustracción.
Escriba, a_m — b_s = c_m — _s Þ a_m + 0_s = b_s + c_m. ("El minuendo de una diferencia admisible añade al sustraendo de otra diferencia admisible.") De ahí, encontramos una Regla de Eqivalence: (g_m — h_s) = (j_m — k_s) si, y sólo si, g_m + k_s = h_s + j_m. (Así, 11 — 4 = 20 — 13, desde que 11 + 13 = 4 + 20.)
(Esa Regla de la Equivalencia hará una parte mayor de nuestro trabajo para nosotros!)

La tarea: el cambio = a < o > para encontrar las dos Reglas de la Desigualdad.
Ahora necesitamos las operaciones de la adición y la multiplicación para las diferencias admisibles.
El CIERRE: (c_m — d_s) o (e_m — f_s) = (g_m — h_s), dónde o representa adición o la sustracción.
La ADICION: (a_m — b_s) + (c_m — d _s¿) = (—?). Usted puede encontrar eso (a_m — b_s) + (c_m — d_s) = ( (a + c)_m — (b + d)_s). ("Agrega los minuendos de ambos las diferencias admisibles para formar el el minuendo del resultado; AGREGUE los sustraendos de ambos las diferencias admisibles para formar el el sustraendo del resultado." Eso es, "Agrega primero a otro primer; agregue en segundo lugar a otro segundo".)
Aquí está donde la estrategia de 2 procedimientos entra. Verifique por un ejemplo: (7 — 3) + (12 — 5) = ? Por la manera familiar, 7 —: 3 = 4; y 12 — 5 = 7; tan 4 + 7 = 11. Y por la manera larga del CIERRE: (7 — 3) + (12 — 5) = ( (7 + 12) — (3 + 5)) = (19 — 8), que, por supuesto, es 11. ¡Averigua! La Suma de Diferencias es una Diferencia. El CIERRE!
¡La ATENCION! La regla de la adición para diferencias invoca una Regla Pareja: empareja ordenandos correspondientes de las dos órdenes: primero ordenando de un ordenar añade a primero ordenando del otro ordenar; entonces, segundo ordenando de un ordenar agrega para apoyar ordenando del segundo que ordena.
Ahora, revisamos la definición de la sustracción de números naturales: Para los números naturales a, b, c: a — b = c si, y sólo si, a = b + c. Advierta la reversión en la regla de la sustracción para números naturales. Esa reversión induce un mezclar en la regla de la sustracción para diferencias admisibles de números naturales. Un general que mezcla la correspondencia tiene la forma: El ordenando de puño de un ordring añade al segundo ordenando del otro ordenar; y segundo ordenando de primero ordenar añade al primer ordenando del segundo que ordena: (a_m — b_s) — (c_m — d_s) = ( (a + D)_m — (b + c)_s). (Nota: una Regla Pareja para la Adición; una Regla Mezclada para la Sustracción.)
Invocamos la estrategia de 2 procedimientos (verificando por un ejemplo) : dado (9 — 3) — (7 — 4), desde que 9 — 3 = 6, y 7 — 4 = 3, entonces (9 — 3) — (7 — 4) = 6 — 3 = 3. Y la manera larga del CIERRE rinde: (9 — 3) — (7 — 4) = ( (9 + 4) — (3 + 7)).
Por favor nota que la Regla de Subraction pasa también el CIERRE. ¿Por qué? Porque, en la regla "nueva" de la sustracción, la operación de la sustracción se evita para la adición. ¡Y esto siempre trabaja!

Necesitamos una REGLA de la MULTIPLICACION tanto que el producto de dos diferencias admisible es una diferencia admisible: (a — b) · (c — d) = (—?). ¿Cómo multiplicamos nosotros en el papel o en la pizarra?
45 17 315 45 765
Para un mejor modelo, volvamos a hacer que esta manera:
producto de diferencias admisibles:
a_m — b_s c_m — d_s _________________________________ (c_m · a_m) + (c_m · ¯b_s) + (¯d_s middot; c_m) + (¯d_s · ¯b _s).

Esto es un caso del IGUAL y la COMBINACION. El IGUAL: minued de tiempos de minuendo, el sustraendo de tiempos de sustraendo; la COMBINACION: el sustraendo de tiempos de minuendo, viceversa.
La tarea: Utiliza la estrategia de 2 procedimientos con un ejemplo (dice, (7 — 3) · (9 — 5) -o uno de su propio) encontrar que usted puede satisfacer el cierre y "atajo" aritméticos sólo por una REGLA de MULTIPLICACION de la forma:
(a_m — b_s) · (c_m — d_s) = ( (a · c + b · s)_m — ( (a · d + b · c)_s).
Y la nota que esto es el IGUAL y la COMBINACION: Los IGUALES FORMAN MINUED DE LA DIFERENCIA -- eso es, la PARTE POSITIVA DE LA DIFERENCIA; mientras las COMBINACIONES FORMAN EL SUSTRAENDO DE LA DIFERENCIA -- LA PARTE NEGATIVA DE LA DIFERENCIA.
La tarea: el hallazgo en este el la pauta De LA LEY DE SIGNOS PARA ENTEROS. ¡Pero fue forzado en nosotros EN EL SISTEMA NATURAL del NUMERO por el CIERRE y la estrategia de 2 procedimientos!

Podríamos obtener la REGLA de la DIVISION DE ESTO; entonces pasa a obtener una REGLA de la EXPONENCIACION y la EXTRACCION DE la REGLA de RAIZ. Pero nuestro propósito es el obtiene alguna idea cómo esto trabaja fuera. Y para entender que esa LEY extraña DE SIGNOS es implícita en en la REGLA del PRODUCTO encontró apenas.
Sin embargo, esto El MODELO DE DIFERENCIAS ADMISIBLES las formas un la parte pequeña del SISTEMA NATURAL del NUMERO. Deseamos tener UN SISTEMA ENTERO del NUMERO CERRO ABAJO SUSTRACCION. ¿Qué hacemos nosotros?

Advertimos que esa SUSTRACCION es un CODIGO BINARIO la OPERACION ORDENADA, RELACIONANDO DOS NATURAL, EN DONDE ORDENANDO HACE UNA DIFERENCIA.

Esto sugiere cambiar a otro CODIGO BINARIO la ESTRUCTURA ORDENADA: EL VECTOR de 2 COMPONENTES. Eso es, escribe un TIPO NUEVO DE el NUMERO (ENTERO) en el formato: [p, q], con el NUMERO NATURAL p como "el partido de la primera parte" (primero componente) en el VECTOR; y con el NUMERO NATURAL q como "el partido de la segunda parte" (segundo componente) en el VECTOR.

Pero lo que es las REGLAS OPERACIONALES (la ADICION, ETC..) ¿PARA ESTOS VECTORES? ¡Nosotros ya los tenemos! En LAS REGLAS OPERACIONALES ENCONTRO PARA El CIERRE DE DIFERENCIAS ADMISIBLES. ¡Así, de NUMERO NATURAL ARITMETICO, nosotros ENGENDRAMOS la SUSTRACCION DE VECTORES (ENTEROS) sin postularlos, sin estafar! Para descubrió que un EVITA: GIRANDO la SUSTRACCION EN la ADICION, QUE ES TOTAL PARA NUMEROS NATURALES.
Veamos para cómo hacer esto.
Espalda