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El MODELO del VECTOR DE DIFERENCIAS ADMISIBLES (ESCONDIDO, POR SIGNOS, COMO ENTEROS)

En el archivo, "el MODELO ADMISIBLE de la DIFERENCIA", tenemos un limitado ARITMETICO DE DIFERENCIAS ADMISIBLES (los MINUENDOS no MENOS QUE el SUSTRAENDO), proporcionado con RELACIONES de IGUALDAD ni DESIGUALDAD y REGLAS OPERACIONALES, tanto que LAS OPERACIONES ARITMETICAS PRIMARIAS sean TOTALES (SIEMPRE ADMISIBLE), mientras que LA OPERACION del INVERSO DE la SUSTRACCION EXISTE SOLO para DIFERENCIAS ADMISIBLES. Así, deseamos ENGENDRAR UN SISTEMA ENTERO del NUMERO con la SUSTRACCION TOTAL.

Notar esa SUSTRACCION ES UNA OPERACION que es AMBOS BINARIO Y ORDENADO, consideramos una ESTRUCTURA que es AMBOS BINARIO Y ORDENADO: EL VECTOR DE DOS COMPONENTES, con NUMEROS NATURALES como sus COMPONENTES. Así, [p, q], dónde p, q Son los NUMEROS NATURALES.

Favor de notar que esto es un EVITA. Para, 2 — 3 no es SIGNIFICATIVO para los NUMEROS NATURALES, 2, 3. Pero nada nos previene de escribir un vector como [2, 3]. Veremos que esto EVITA este PROBLEMA presente de la SUSTRACCION, así como otro problema. También, nosotros VECTOR MODELO GOBIERNA en REGLAS para DIFERENCIAS ADMISIBLES.

  1. La IGUALDAD:
    • Las DIFERENCIAS ADMISIBLES quedaron una REGLA MEZCLADA de la IGUALDAD: a1— b1 = a2 — b2 →a1 + b2 = b1 + a2 .

    • Semejantemente, con VECTORES DE NATURAL, tenemos una REGLA MEZCLADA: [a1, b1] = [ua2, b2] → a1 + b2 = b1 + a2 .      Así, [8, 5] = [12, 9] Porque 8 + 9 = 5 + 12 = 17.
    • Nosotros ahora PODEMOS INVOCAR la EQUIVALENCIA para SIMPLIFICAR los COMPONENTES: [8, 5] = [8 — 5, 5 — 5] = [3, 0], eso es, [8, 5] = [3, 0] porque 8 + 0 = 5 + 3. Semejantemente, [12, 9] = [12 — 9, 9 — 9] = [3, 0].
    • ¡Y esto tiene la CONSECUENCIA DE UN resultado ADMISIBLE NUEVO! Para NUMEROS NATURALES, 2 - 3 Es SIN SENTIDO. Pero, para VECTORES DE NATURAL, podemos escribir [2, 3]. Y la EQUIVALENCIA encuentra eso [2, 3] = [2 - 2, 3 - 2] = [0, 1]. Eso es, [2, 3] = [0, 1] PORQUE 2 + 1 = 3 + 0.

  2. La tarea: la DESIGUALDAD del Hallazgo GOBIERNA para VECTORES de LA REGLA de la IGUALDAD. Necesitamos sólo la última regla abajo.

  3. La ADICION:

    • Para DIFERENCIAS ADMISIBLES, nosotros tenemos una REGLA PAREJA: (a1 — b1) + (a2 — b2) = (a1 + b1 ) — (a2 + b2).

    • Semejantemente, para VECTORES DE NATURAL, tenemos una REGLA PAREJA: [a1, b1] + [a2, b2] = [a1 + a2 , b1 + b2]. (CLOSURE!)     Así (utilizando los casos de arriba), [8, 5] + [12, 9] = [8 + 12, 5 + 9] = [20, 14].     sin embargo, utilizando la EQUIVALENCIA para simplificar, [20, 14] = [20 — 14, 14 — 14] = [6, 0].    (Do que usted ve cómo que esto concuerda con lo que encontramos arriba?)
  4. La SUSTRACCION:
    • Para DIFERENCIAS ADMISIBLES, nosotros tenemos una REGLA MEZCLADA:(a 1 — b1) — (a2 — b2 ) = ( (a1 + b2) — (a2 + b1)).

    • Semejantemente, para VECTORES DE NATURAL, tenemos una REGLA MEZCLADA: [a1, b1] — [a2, b2] = [a1 +b 2, a2 + b1].    Thus (utilizando el caso de la adición de vector), [20, 14] — [8, 5] = [20 + 5, 14 + 8] = [25, 22] = [25 — 22, 22 — 22] = [3, 0].

      Pero podemos girar también eso alrededor: [8, 5] — [20, 14] = [8 + 14, 20 + 25] = [22, 25] = [22 — 22, 25 — 22] = [0, 3]. &Nbsp;   obtenemos los resultados ambas maneras con VECTORES, que nosotros no podemos hacer con SOLOS NUMEROS NATURALES. ¡Y nosotros lo hicimos sin ESTAFAR!

      ¿Por qué? ¡Porque la REGLA GIRO la SUSTRACCION EN la ADICION PARA NATURAL, QUE SIEMPRE se PERMITE O TOTALIZA!

  5. La MULTIPLICACION:

    • Para DIFERENCIAS ADMISIBLES, nosotros tenemos una REGLA del IGUAL y la COMBINACION: (a1— b1) · (un2 — b2) = ( (a1 · a2 + B1 · B2) — (a1 · b2 + a2 · b 1)).

    • Semejantemente, para Los VECTORES DE NATURAL, tenemos una REGLA del IGUAL y la COMBINACION: [a1, b1] · > [a2, b2] = [a1 · a2 + b1 · b2, a 1 · b2 + a2 · b1].     Así, [9,5] · [11,8] = [9 ·11 + 5 · 8, 9 · 8 + 5 · 11] = [99 + 40, 72 + 55] = [139, 127].

La TAREA: Muestra esto es equivalente a [4,0] · [3,0] = [12, 0].

Yo ahora le mostraré algunos RESULTADOS de GENERAL, que llevan a "el esconder".

Pero podemos girar también eso alrededor: [8, 5] — [20, 14] = [8 + 14, 20 + 25] = [22, 25] = [22 — 22, 25 — 22] = [0, 3].     obtenemos los resultados ambas maneras con VECTORES, que nosotros no podemos hacer con SOLOS NUMEROS NATURALES. ¡Y nosotros lo hicimos sin ESTAFAR!

¿Por qué? ¡Porque la REGLA GIRO la SUSTRACCION EN la ADICION PARA NATURAL, QUE SIEMPRE se PERMITE O TOTALIZA!

  • La MULTIPLICACION:

    • Para DIFERENCIAS ADMISIBLES, nosotros tenemos una REGLA del IGUAL y la COMBINACION: (a1— b1) · (a2 — b2) = ( (a1 · a2 + B1 · b2) — (a1 · b2 + un2 · b1)).

    • Semejantemente, para Los VECTORES DE NATURAL, tenemos una REGLA del IGUAL y la COMBINACION: [a1, b1] · [a2, b2] = [a1 · a2 + b1 · b2, a1 · b2 + a2 · b1 ].     Así, [9,5] · [11,8] = [9 · 11 + 5 · 8, 9 · 8 + 5 · 11] = [99 + 40, 72 + 55] = [139, 127].

      La TAREA: Muestra esto es equivalente a [4,0] · > [3,0] = [12, 0].

      Yo ahora le mostraré algunos RESULTADOS de GENERAL, que llevan a "el esconder".

      Los estudiantes de la álgebra abstracta Se dará cuenta de que nuestra REGLA de la EQUIVALENCIA de VECTOR (MODELADO EN NUESTRA REGLA ADMISIBLE de la EQUIVALENCIA de la DIFERENCIA) puede hacer "lo que una Regla de Equivalencia hace mejor": REDUCE SU SISTEMA EN VARIAS CLASES de la EQUIVALENCIA (a menudo una reducción considerable). Aquí, veremos que LA REGLA de la EQUIVALENCIA de VECTOR RINDE APENAS TRES CLASES de EQUIVALENCIA.

      La PRUEBA: los NUMEROS NATURALES, NO CERO y Dados a, b para VECTORES de la forma, [una, B]:

      1. Si a > b, entonces, para algún NO CERO NATURAL, a — b, [a, b] = [a — b, b — b] = [a — n, 0] , -Que marco "UN PAR SUPERIOR CANONICO".

      2. Si un < B, entonces, para algún NO CERO NATURAL, b — a, [a, b] = [a — a, n — a] = [0, b — a] , -- que marco "UN PAR MAS BAJO CANONICO".

      3. Si a = b, entonces [a, b] = [a —b, a — b] = [0, 0] -- que marco "UN PAR NULO CANONICO".

      La REGLA de la EQUIVALENCIA del VECTOR (MODELO EN NUESTRA REGLA ADMISIBLE de la EQUIVALENCIA de la DIFERENCIA) REDUCE el infinidad de Los TIPOS DE VECTORES NATURALES de NUMERO A APENAS TRES CLASES de EQUIVALENCIA, que escojo marcar los TIPOS CANONICOS: los PARES CANONICOS, SUPERIORES y MAS BAJOS y el PAR NULO.

      Antes ESCONDER VECTORES COMO ENTEROS, veamos ESCONDER de VECTOR COMO VECTOR. Así, cierto CANNONICAL el PAR SUPERIOR, tal como [2, 0] Los CUEROS UNA INFINIDAD DE VECTORES de EQUIVALENCIA: [2, 0] = [3, 1] = [4, 2] = [5, 3] =...., Infinitamente, para cualquier DOS DIFERIR NATURAL POR 2.

      Esto nos muestra para cómo ESCONDER VECTORES POR SIGNOS:

      1. Para algún NUMERO NATURAL NO CERO, N, [N, 0] = > +N . El ejemplo: [2, 0] → +2, o simplemente 2.

      2. [0, N] → ¯ N . El ejemplo: [0, 2] = ¯2.

      3. [0, 0] → 0.

      ¡Perciba! ¡LOS ENTEROS! (Favor de notar: he escrito el +,- Los signos como SUPERINDICES para EVITAR SU CONFUSION con LOS SIGNOS OPERACIONALES PARA la ADICION Y la SUSTRACCION. Tan por favor la parada que habla acerca de "menos 2". En vez de eso, Marca este 2 como negativo. También, favor de notar eso, mientras hay un uno a una correspondencia, tal como [2, 0] → 2, LA INFINIDAD DE VECTORES de EQUIVALENCIA CONSERVA: 2 → [2, 0] = [3, 1] = [4, 2] = [5, 3] =...., Infinitamente, para cualquier DOS DIFERIR NATURAL POR 2. Etc.

      El RESUMEN:
      • Nosotros no ESTAFAMOS. Para NUMEROS NATURALES,2, 3, La operación, 2 — 3, son todavía SIN SENTIDO. Pero, para ENTEROS 2, 3, Tenemos el SIGNIFICATIVO, 2 — 3 = ¯1.

      • Advierta cómo que hicimos esa SUSTRACCION. Detrás de lo era [2,0] — [3,0] = [2 + 0, 0 + 3] = [2, 3]. Pero, por LA REGLA de la EQUIVALENCIA, [2, 3] = [2 — 2, 3 — 2] = [0, 1] → &Macr;1. Sin embargo, la mirada dentro de los paréntesis. NOSOTROS nunca nunca nunca REALIZAMOS UNA SUSTRACCION PROHIBIDA. EVITE la ADICION HIZO LA ARTIMAÑA.

      • Así, ahora, tenemos un SISTEMA de ENTERO en cuál la ADICION, la MULTIPLICACION, la EXPONENCIACION, Y la SUSTRACCION SON TOTALES. (La DIVISION, el LOGARITMO, la EXTRACCION de RAIZ ES TODAVIA PARCIAL!)

      • Y "La Ley de Signos" es mostrado para no ser una REGLA EXTRAÑA. Necesitamos una REGLA de la MULTIPLICACION PARA las DIFERENCIAS ADMISIBLES que SATISFACEN DOS CONDICIONES: el CIERRE (el PRODUCTO DE DIFERENCIAS IGUALA UNA DIFERENCIA YA EN EL SISTEMA), y Ley de Distributivo (las MANERAS CORTAS Y LARGAS DE CALCULAR QUE DEBE SER EQUIVALEN SON VERDADERAMENTE EQUIVALENTES). Satisfacer estas dos FUERZAS de condiciones EN EEUU UNA COMBINACION Y la REGLA del PRODUCTO del IGUAL -QUE LLEGA A SER NUESTRO "la Ley de Signos" en ENTEROS. ¡Pero ES el NUMERO NATURAL ARITMETICO QUE REQUIERE!
      • Pero los ENTEROS se ORDENAN SIMPLEMENTE los PARES DE NUMEROS NATURALES. Eso es, CADA ENTERO ES EQUIVALENTE A UN VECTOR [N1, N2], dónde N1, N2 SON los NUMEROS NATURALES. Nosotros no salimos EL SISTEMA NATURAL del NUMERO para bueno. Acabamos de ir en un nivel más alto consigo -- el tipo de "NATURAL en DOS DIMENSIONES".

      Bien, eso explica ENTEROS en la INTERPRETACION TOTALIZAN LA OPERACION DE la SUSTRACCION COMO INVERSO DE la ADICION. Pero otro problema acerca de la ADICION surge.

      Apoye en NUMEROS NATURALES, CONTAR así como REPETIDO LLEGO A SER TEDIOSO, INVOCANDO LA GENERACION DE la ADICION POR RECURSION, así que AGREGAR también REPETIDO -- tal como 5 + 5 + 5 -- llega a ser TEDIOSO.

      El ATAJO: ENGENDRA la MULTIPLICACION (·) DE DOS NUMEROS NATURALES (una, B) POR RECURSION ("en El Tercer Grado") EN la OPERACION de la ADICION: a · 1 = a , S (un · B) = un · b + a. Esto ENGENDRA CUALQUIER PRODUCTO, de ahí, EL SISTEMA NATURAL del NUMERO se CIERRA ABAJO MULTIPLICACION.

      ¿Hay una OPERACION del INVERSO? Sí, porque la MULTIPLICACION se DEFINE BIEN. Para NO CERO un: · b = a · c Þ b = c; y, COMMUTATIVITY DE la MULTIPLICACION -- a · b = b · ua -- MEDIOS QUE EL INVERSO ES EXTRAORDINARIO (ve el fracaso de esto para la exponenciación, abajo).

      De ahí, PODEMOS DEFINIR un INVERSO PARA la MULTIPLICACION, la división, en términos de la MULTIPLICACION: para NO CERO b, a ÷ b = c si, y sólo si, a = b · c.

      Ahora, la DIVISION TIENE SENTIDO CUANDO EXISTE. Pero EL COCIENTE a ÷ b EXISTE si, y sólo si, a ES el MULTIPLO de b. (Tales cocientes son los COCIENTES ADMISIBLES.) ¡Y el MISMO PARA ENTEROS! De ahí, el CIERRE SOLO PARCIAL DE NATURAL Y los ENTEROS PARA la DIVISION. Equivalentemente, la MULTIPLICACION ES UNA OPERACION TOTAL (" SIEMPRE TRABAJO"); la DIVISION ES UNA OPERACION PARCIAL (" SOLO TRABAJO A VECES").

      Otra vez, el VECTORING y EVITA y ESCONDER la ESTRATEGIA resuelve nuestros problemas para HACER (NO CERO) el SUMA de la DIVISION. SHORTCVT por un VECTOR DE NATURAL o un VECTOR DE ENTEROS PORQUE DIVISON se ORDENA (NONCOMMUTATIVE), eso es, aunque 4 · 2 = 2 · 4, pero 4 ÷ 2 ¹ 2 ÷ 3.

      El VECTOR y ESCONDER el ATAJO

      1. FORME el MODELO ADMISIBLE del COCIENTE (PARA VECTORES) DE la IGUALDAD, la DESIGUALDAD, la SUMA, la DIFERENCIA, el PRODUCTO, el COCIENTE, EXPONENCIAL, la RAIZ DE COCIENTES ADMISIBLES.
      2. ESCRIBA ARITMETICO PARA el VECTOR DE ENTEROS - [a, b] -- EN TERMINOS DE UN MODELO ADMISIBLE del COCIENTE.
      3. Los VECTORES DE ENTEROS CAEN EN 3 TIPOS BASICOS:

        1. [a, b], CON un MULTIPLO de b ("Los NUMEROS ENTEROS");
        2. [a, b], CON un NONMULTIPLE de b "(FRACCIONES)";

        3. [a, b], CON a = b (UNIDAD).
      4. El PROBLEMA de la DIVISION de ENTEROS se EVITA: [a, b] ÷ [c, d] = [a · d, b · c] ¡ -- La DIVISION se EVITA PARA la MULTIPLICACION, QUE SIEMPRE TRABAJA!

      5. De ahí, FORMA de VECTOR PUEDE SER ESCONDIDA POR el ATAJO DE SIGNOS de TAJO o ningún SIGNO -- el ATAJO A NUMEROS RACIONALES (VECTORES DE ENTEROS CON ARITMETICO DE COCIENTES ADMISIBLES ). Así, [4,2] Þ > 2; [2,4] Þ 2/4 = 1/2; [4,4] = [2,2] Þ 1.

      Veamos LA GENERACION DE NUMEROS RACIONALES COMO VECTORES DE ENTEROS, CON REGLAS MODELADAS EN COCIENTES ADMISIBLES DE ENTEROS.

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