La DIVISION para NUMEROS y ENTEROS NATURALES se DEFINE en términos de la MULTIPLICACION, como su INVERSO: Para NATURAL o los ENTEROS a, b, c, a ÷ b = c si, y sólo si, a = b ·c -- eso es, el DIVIDENDO (a) DIVIDIDO POR el DIVISOR (b) IGUALA el COCIENTE (c) si, y sólo si, el DIVIDENDO (a) IGUALA el DIVISOR (b) multiplicado por el COCIENTE (c). Así, 12 ÷ 3 = 4, porque 3· 4 = 12.

Esto RESTRINGE la DIVISION NATURAL del NUMERO y el ENTERO A ESOS COCIENTES eso es los MULTIPLOS DEL DIVISOR. Eso es, restringiendo la DIVISION COMO UN INVERSO PARCIAL PARA la MULTIPLICACION EN LOS NUMEROS o ENTEROS NATURALES, MIENTRAS QUE DEBE SER TOTAL (SON COMO la ADICION Y la MULTIPLICACION EN NUMEROS y ENTEROS NATURALES, y EN la SUSTRACCION en ENTEROS).

¡La enseñanza típica de la DIVISION se parece a ESTAFAR! "Usted no puede dividir 11 por 3 -- menos usted puede poniendo una marca rara de tajo entre ellos -- como en 11/3." Para decir que esto es un SISTEMA nuevo y diferente del NUMERO -LOS NUMEROS "(FRACCIONES)" RACIONALES -- hace pequeño para la CREDIBILIDAD, desde que entonces invoca lo que parece ser una REGLA extraña: "dividir una fracción por una fracción, invierte la fracción del divisor y lo multiplica tiempos la fracción del dividendo". ¿Qué?

Al igual que con el problema de la SUSTRACCION, los ESTUDIANTES no SON MOSTRADOS COMO TODA DIVISION ARITMETICA se PUEDE ENGENDRAR DENTRO DEL SISTEMA de ENTERO -- SIN ESTAFAR o REGLAS EXTRAÑAS.

Buscamos el CIERRE PARA (NO CERO) la DIVISION -- que FALLA en el SISTEMA NATURAL del NUMERO y en EL SISTEMA de ENTERO.

---

¡La atención! ¡EN TODAS LAS OPERACIONES SIGUIENTES de la DIVISION, EL DIVISOR ES NO CERO! (Si usted piensa "no divide por cero!" es mojigatería matemática, lo trata en una calculadora. Pero está listo para girarlo de rápidamente!)

Permita o denote CUALQUIER OPERACION (la ADICION, la MULTIPLICACION, la SUSTRACCION, etc.) Entonces, permitió p, q pertenezca al MISMO SISTEMA DE ELEMENTOS (dice, ambos son los NUMEROS o los ENTEROS NATURALES); entonces, para p o q = r, El CIERRE requiere r para ser del mismo tipo como p, q.

Cuando a descubrir entre NUMEROS NATURALES las REGLAS PARA DIFERENCIAS ADMISIBLES (llevando a ENTERO ARITMETICO), utilizamos la ESTRATEGIA de 2 PROCEDIMIENTOS a DESCUBRIR dentro de ENTEROS LAS REGLAS PARA COCIENTES ADMISIBLES -- llevando al NUMERO RACIONAL ARITMETICO, en donde DIVISION "SIEMPRE TRABAJO", y sin ESTAFAR y encontrando las REGLAS RARAS.

Empezamos con la PARTE RESTRINGIDA de EL SISTEMA de ENTERO (el DIVIDENDO IGUALA el MULTIPLO DE el DIVISOR), lo tratando como un SISTEMA ESPECIAL de NUMERO: EL SISTEMA ADMISIBLE (INTEGRANTE) del COCIENTE. Y avanza CUMPLIENDO DOS CONDICIONES:

1. El CIERRE (retiene el tipo);
2. La ESTRATEGIA de 2 PROCEDIMIENTOS (el "la manera más larga del CIERRE" de resolver un problema rinde la misma respuesta como la manera familiar).

   ---

   Defina el COCIENTE: <<dividend>> ÷ << divisor>> = ≪<quotient>>. (Favor de notar que nosotros no indicamos la Definición Uniforme de la División, con una Condición en El Resto, pero necesitamos considerar sólo CASOS SIN el RESTO.)

   Defina el COCIENTE ADMISIBLE: (a_D ÷ b_d) = r_q, dónde a, b, r son TODOS NUMEROS o los ENTEROS NATURALES. (Los subíndices de nota, "D", "d", "Q", respectivamente para "dividendo", el "divisor", "quotient".)

   Permita o DENOTE CUALQUIER OPERACION (la ADICION, la SUSTRACCION, ETC.) Entonces consideramos la forma del CIERRE: (a ÷ b) o (c ÷ d) = (e ÷ f) -- "un cociente, (a ÷ b) combinado (o) con un cociente, (c ÷ d) los rendimientos un cociente, (e ÷ g) ".

   • Usted empieza DERIVANDO la EQUIVALENCIA PARA COCIENTES ADMISIBLES ("¿Cuando son dos cocientes admisibles igualan?") DE LA DEFINICION de la DIVISION. Escriba, g_D ÷ h_d = j_D ÷ k_d = > q_D · k_d = j_D · h_D. (" El dividendo de un cociente multiplica el divisor de otro".) De ahí, tenemos una REGLA de la EQUIVALENCIA: (g_D ÷ h_d) = (j_D ÷ k_d) si, y sólo si, g_D · k_d = h_D · j_d. (Así, 12 ÷ 4 = 21 ÷ 7, desde que 12 ·7 = 4 · 21 = 84.)

     Al igual que con la regla admisible de la equivalencia de la diferencia, esta regla de la equivalencia admisible del cociente hará la mayor parte de nuestro trabajo para nosotros.

   • La tarea: el cambio = a < o > Para encontrar las dos REGLAS de la DESIGUALDAD.

     Ahora, necesitamos las OPERACIONES de la ADICION y la MULTIPLICACION para Los COCIENTES ADMISIBLES. El CIERRE: (e_D ÷ f_d) o (g_D ÷ h_d) = (j_D ÷ k_d).

   • La ADICION y la SUSTRACCION GOBIERNAN: Dado(g_D ÷ h_d ) ± (j_D ÷ k_d) = (? ÷?) . Arreglemos para el relata para tener un denominador común. Multiplique primero relatum por (k_D ÷ k_D), y segundo relatum por (h_D ÷ h_d), entonces tenemos (g_D÷ h_d) · (k_D ÷ k_d) ± (j_D ÷ k_d ) · (h_D ÷ h_d) = (g_D · k_d ± j_D · h_d) ÷ (h_d · k_d ).

     Nuestra SUSTRACCION de la ADICION GOBIERNA PARA COCIENTES ADMISIBLES. UN COCIENTE ADMISIBLE más o menos UN COCIENTE ADMISIBLE IGUALA UN COCIENTE ADMISIBLE.

   • La REGLA de la MULTIPLICACION es fácil: (g_D ÷ h_d) · (j_D ÷ k_d) = ( (g_D · j_D) ÷ (h_d · > k_d)). UN COCIENTE ADMISIBLE MULTIPLICADO POR UN COCIENTE ADMISIBLE IGUALA UN COCIENTE ADMISIBLE.

   • Para la REGLA de la DIVISION, nosotros apelamos al CIERRE y la ESTRATEGIA de 2 PROCEDIMIENTOS (en que los "cálculos cortos" de cálculos y cierre concuerdan): (g_D ÷ h_d) ÷ (j_D ÷ k_d) = (g_D · k_d ÷ h_d · j_D).

UN COCIENTE ADMISIBLE DIVIDIDO POR UN COCIENTE ADMISIBLE IGUALA UN COCIENTE ADMISIBLE -- que es qué demandas del CIERRE. Verifiquemos por de 2 PRECEDURE. Diga, (24 ÷ 3) ÷ (12 ÷ 6) = (24 · 6 ÷ 3 · 12) = (144 ÷ 36) = 4' (24 ÷ 3) = 8; (12 ÷ 6) = 2; y 8 ÷ 2 = 4. La respuesta verifica.

Ahora formamos los vectores de los enteros con estas reglas para ver para cómo crear un SISTEMA nuevo del NUMERO en cuál la DIVISION NO CERO ES El SUMA.

Espalda