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MODELO DE LOGARITMOS DE NÚMEROS RACIONALES
Este será nuevo y sorprendente a la mayor parte de matemáticos y estudiantes porque la presentación estándar del verdadero sistema de número es Este será nuevo y sorprendente a la mayor parte de matemáticos y estudiantes porque el la presentación estándar del verdadero sistema de número es non aritmetica, explicando este problema de problema aritmético (la necesidad "de verdaderos números") en términos de geometría ("la diagonal de a el cuadrado") -- haciendo logaritmo parece periférico a la aritmética elemental.

Sin embargo, los verdaderos números se levantan aritméticamente en la necesidad de hacer el total el inverso (logaritmo) de expnentiation.

(Aprendí este en 1948, cuando mi suegro me dio su copia del Álgebra de "Fine", llamado para el profesor de matemáticas a quien el Pasillo Fino en la Universidad de Princeton es dedicado.)

Para cualquier número racional, r , el producto repetido r · r · r · ... · r es aburrido.

Entonces gente inventó un ACCESO RÁPIDO, DEFINIDO RECURRENTEMENTE: b0 = 1; bS(p) = bp · p donde b, p son numeros racionales.

Obviamente, los números naturales, los números enteros y los números racionales están cerrados bajo exponentiation.

¿Tienen exponentiation "un inverso"? Bien, exponentiation es doble bien definido":

  1. bp = bq si, y soló si, p = q.
  2. bp = cp si, y soló si, b = c.
De este modo, como con ADICIÓN Y MULTIPLICACIÓN, EXPONENTIATION TIENE DOS INVERSOS. Pero los dos inversos para ADICIÓN Y MULTIPLICACIÓN fusión , porque estas operaciones son CONMUTATIVAS. Sin embargo, EXPONENTIATION NO ES CONMUTATIVO. Una excepción sola demuestra este: 23 = 8 mientras 32 = 9. Su operación de no equivalencia demuestra noncommutativity de exponentiation.

De ahí, exponentiation tiene dos inversos: Considerando bp = E ("exponencial", evitando "e" "de logaritmos naturales"), es decir "base b al poder p iguala el exponente E ":

  1. logbE = p si, y soló si, b p = E.
  2. (E)1/p = b si, y soló si, b p = E.
De este modo, EXPONENTIATION tiene dos INVERSOS (que se no combinan): LOGARITMO Y EXTRACCIÓN D RAÍZ. Ambos son PARCIAL en el SISTEMA DE NÚMERO RACIONAL:
  1. logba es irracional ("fuera" de NÚMEROS RACIONALES) siempre que cualquiera de a, b contenga un FACTOR PRINCIPAL las otras carencia. Bien, ¡"es más o menos todo! ".

  2. (-1)1/2 es no verdadero ("fuera" RACIONAL Y VERDADERO NÚMEROS).
LOGARITMO DE TOTALIZACIÓN cede el VERDADERO SISTEMA DE NÚMERO. EXTRACCIÓN DE RAÍZ DE TOTALIZACIÓN cede el SISTEMA DE NÚMERO COMPLEJO. (Y lanzamientos "la ARITMÉTICA de Numeros Clifford.)
  1. Sabemos que CUALQUIER NÚMERO RACIONAL PUEDE SER REPRESENTADO COMO UN NÚMERO DECIMAL. Ejemplo: 1/3 = 0. | 3 | , donde |n | significa que n es REPETIDO INFINITAMENTE, es decir PERIODICIDAD que comienza en algún punto en el NÚMERO DECIMAL.
  2. También sabemos que cualquier tal "decimal periódico" puede ser representado como una SUMA GEOMÉTRICA de LONGITUD INFINITA. Así, 1/3 Þ 0.33333.... Þ3/10 + 3/100 + 3/1000 + ... + 3/10 n + ....
  3. Nosotros también conocido que tal INFINITO SUMA "igual EN EL LÍMITE el número que es el RACIONAL forma".

Pregunta: ¿TIENEN otras SUMAS INFINITAS LÍMITES? De ser así, podemos usar estos para LLENAR LOS HUECOS PARA LOS VALORES DE LOGARITMOS - de ahí, HAGA EL TOTAL DE LOGARITMO.

El problema no puede ser solucionado FINITARILY - como la DIFERENCIA y los problemas de COCIENTE han sido solucionado. Debemos solucionar "el tronco" (INVERSO EXPONENCIAL) problema TRANSFINITARILY por un nuevo OPERACIÓN: LÍMITE. (Digo "transfinitarily" ya que "el infinito" significa "acercamiento a ello", mientras que "transfinite" significa "utilización el infinitamente alcanzado causan la obra finita".)
El LÍMITE OPERACIÓN permite que nosotros DEFINAMOS SECUENCIAS CAUCHY PARA REPETIR Y NO REPETIR SECUENCIAS RACIONALES - ampliando a NÚMEROS IRRACIONALES.

DEFINICIÓN: un métrico es una función no negativa g(x, y) descripción "de la Distancia" (diferencia entre coordinan valores ) entre puntos vecinos para un Juego dado. Un métrico satisface la Desigualdad de Triángulo, g(x,y) + g(y,z) ³ g(x,z), y es simétrico: g(x, y) = g(y, x) .

DEFINICIÓN: Cauchy secuencia, {a1 , a2, a3, ...}, es una secuencia tal que su métrico , d(am, an) satisface limmin(m, n)→ ¥d(am , an ) = 0.

Cauchy secuencias son IMPLÍCITOS en cada decimal "de no final" le numeran encuentro. En particular, "la raíz cuadrada de dos", que es primero o uno de los primeros irrationales encontrado.

¿Cuándo vemos un número puesto en una lista así, √ 2 = 1.41421 ..., podemos volver a escribir este como Cauchy secuencia de números racionales: 1, 1.4, 1.41, 1.414, 1.4142, 1.41421, .....

Podemos mostrar que √ 2 es "pellizcado" entre BAJE Y LÍMITES SUPERIORES:

  • 1 < √2 < 2 since (by SQUARING) 1 < 2 < 4
  • 1.4 < √2 < 1.5 since (by SQUARING) 1.96 < 2 < 2.25
  • 1.41 < √2 < 1.42 since (by SQUARING) 1.9881 < 2 < 2.0164
  • 1.414 < √2 < 1.415 since (by SQUARING) 1.99941 < 2 < 2.0022
  • 1.4142 < √2 < 1.4143 since (by SQUARING) 1.99996 < 2 < 2.00024
  • 1.41421 < √2 < 1.41422 since (by SQUARING) 1.99999 < 2 < 2.00002
  • .....

Por favor note que la SECUENCIA (izquierda) de LÍMITES INFERIORES AUMENTA CONTINUAMENTE EN VALOR, mientras PROPORCIONALMENTE LA SECUENCIA (derecha) de LÍMITES SUPERIORES SE DISMINUYE CONTINUAMENTE EN VALOR. El verdadero número, 2 , está siendo "pellizcado más y más fuertemente" por estos LÍMITES. Usted puede realizar el NÚMERO DECIMAL A CUALQUIER NÚMERO DE POSICIONES, EQUIVALENTEMENTE AMPLÍE LA SECUENCIA CAUCHY A CUALQUIER NÚMERO DE TÉRMINOS, EQUIVALENTEMENTE AMPLÍE LA SECUENCIA "DE PELLIZCOS" A CUALQUIER NÚMERO. Usted puede imaginar que, "finalmente" o EN EL LÍMITE, SÓLO UN NÚMERO ES DESIGNADO "O PELLIZCADO". Este define el VERDADERO NÚMERO dado - aquí, √ 2 .

Usamos estos resultados para crear "vectores infinitos" como la REPRESENTACIÓN De LOGARITMOS - alcanzamiento de nuestro inverso deseado.

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