ENGENDRAR ARITMÉTICO

Brevemente, aritmético puede ser engendrado según tres estrategias:
  1. El atajo, para evitar la aplicación tediosa de un operario.
  2. Contrapotada de El de Kierkegaard.
  3. El formato del vector que evita escondiendo detrás de signos.
    1. En el sistema de números naturales, el límite en el subtractin se evita con limitado aritmético de diferencias definidas de números naturales.
    2. Evite limitado aritmético de diferencias definidas por repleto aritmético de vectores de números naturales con reglas de operatinal de limitado aritmético de diferencias definidas de números naturales, que proporciona la sustracción total.
    3. Evite la anotación difícil de vector por signos de inetgral.
    4. Semejante evita en otros casos.
    LOS ATAJOS
    Primitivo de humanos utilizó los palos de tarjas o las cuerdas anudadas o utilizó otro los artículos contables para justificar las posesiones o las observaciones. ¡Tedioso!

    El atajo: Engendra el sistema de números naturales por recursion de principios de cero (0) y el operario de sucesor,S (_). Así, S(0), S(S(0)), S(S(S(0))),..... ¡Otra vez, tedius! (En lo que sigue, llamaré esto "Recursion en El Primer Grado".)

    El atajo del numeral: S (0) 1; S (S(0)) 2; S(S(S(0))) 3; ....

    Sin embargo, nosotros no podemos contar bajo cero. De ahí, los números naturales se cierran bajo contar (siempre rinde un número natural) pero no en contar de revés.

    Ahora, contar ordinario llevó también a contar concatenado -- tal como peinando a condes de 1,2 con condes de 1, 2, 3, para obtener 1, 2, 3, 4, 5. ¡También tedioso!

    El atajo: Engendra la adición (a + b) de dos números naturales (a, b) por recursion ("en El Segundo Grado") en la operación de sucesor: a + S (b) S(a + b). Esto engendra cualquier suma de números. De ahí, el sistema de números naturales se cierra bajo la adición, eso es, la adición es una operación total en el sistema de números naturales.

    Sin embargo, agregar ordinario implicó a veces concatenó contar -- tal como 2 + 2 + 2 + 2. ¡Tedioso!

    El atajo: la multiplicación de la Generación (a * b) de dos números naturales (a, b) por recursion ("en El Tercer Grado") en el operario de la adición: a * 1 = a; a * S(b) a * b + a.

    Esto engendra cualquier producto, de ahí, el sistema de números naturales se cierra bajo la multiplicación, eso es, la multiplicación es una operación total en el sistema de números naturales.

    Sin embargo, agregar ordinario implicó a veces concatenó contar -- tal como 2 * 2 * 2 * 2. ¡Tedioso!

    El atajo: Engendra la exponenciación (be), dónde b es una base, e es un exponente) por recursion ("en El Cuarto Grado") en el operario de la multiplicación: b0 1, bS(p) bp * b.

    Esto engendra cualquier poder de un número, de ahí, el sistema de números naturales se cierra bajo la exponenciación, eso es, la exponenciación es una operación total en el sistema de números naturales.

    EVITAR A ENTEROS

    ¿Hay una operación del inverso para la adición? Sí, dos de ellos. Porque la adición en el derecho se define bien (eso es, cancelativo) : a + b = a + c b = c; de ahí, la adición en el derecho tiene un inverso en el derecho. El mismo puede ser la exposición para la adición en la izquierda, demostrando la existencia de un inverso en la izquierda. Sin embargo, la adición es también conmutativa ( a + b = b + a), así que el inverso izquierdo de la adición es equivalente a tiene razón inverso, formando un solo inverso para la adición, conocido como sustracción, que podemos definir en términos de la adición: a - b = c si, y sólo si, a = b + c, que existe si, y sólo si, a ≥ b, Eso es, cuándo minuendo es más que o iguala el sustraendo. Así, 3 — 2 son una diferencia admisible, o la diferencia definida, de 1 (es decir, 3 — 2 = 1), porque se conforma a la definición de la sustracción en términos de la adición: 3 = 2 + 1. Pero 2 — 3 no existen como un número natural porque la definición fallan, desde que el resultado tendría que ser menos que pone a cero, y nada es menos que pone a cero en el sistema de números naturales.

    De ahí, el sistema de números naturales es sólo cerró parcialmente bajo la sustracción, eso es, la sustracción es sólo una operación parcial en el sistema de números naturales.

    Esta limitación es evitada formando un aritmético (con sus relaciones y operaciones de esas diferencias admisibles o definida de números naturales, en donde el sustraendo es nunca más que el minuendo en la sustracción.

    Pero esto es sólo un modelo limitado. Este modelo limitado de diferencias definidas de naturalnumbers evita por vectores formados de números naturales, con reglas adaptadas de ésos para diferencias definidas de números naturales.

    Ahora, un resultado notable se descubre. Una relación de la equivalencia se ha encontrado para diferencias definidas de números naturales:a - b = c - d si, y sólo si, a + d = b + c. Esto proporciona el modelo para una relación de la equivalencia de vectores de números naturales. Ahora, una relación de la equivalencia en un sistema separa el sistema en clases de equivalencia. Afortunadamente, aquí, necesitamos sólo tres clases de equivalencia:

    1. una clase de la equivalencia de vectores "positivos";
    2. una clase de la equivalencia de vectores "negativos";
    3. Una clase de la equivalencia de vectores nulos.
    Esto significa que podemos evitar el tedio de vectores de números naturales escondiéndolos detrás de signos integrantes, teniendo como resultado el sistema familiar del número de enteros.

    Pero el logro más grande en esto es esa sustracción de vectores de números naturales puede ser realizada simplemente agregando el compnents natural de vector de número. ¡Pero la adición de números naturales siempre se permite! ¡Es una operación total! ¡De ahí, hemos rendido la subtracción en una operación total! E hicimos esto sin estafar.

    EVITAR A NUMEROS RACIONALES

    La multiplicación tiene dos inversos porque la multiplicación es bien definida en el derecho y bien definido en la izquierda. Así, para a ≠ 0, a * b = a * c si, y sólo si, b = c, Así que la multiplicación es bien definida en el derecho, con un inverso correcto. También, b * a = c * ua si, y sólo si, b = c , Así que la multiplicación es bien definida en la izquierda, con un inverso izquierdo.

    Sin embargo, la multiplicación es también conmutativa (a * b = b * a), así que ambos inversos son equivalentes, eso es, la multiplicación es bien definido con un solo inverso, la división: D ≠ 0, m d = q si, y sólo si, m = q * d. Pero el cociente q existe si, y sólo si, m = k * d, para algún entero k, eso es, q = m = (k * d) d. Tales cocientes son admisibles de bien definido.

    Pero esta limitación (eso dividió es el múltiplo integrante del divisor) significa que esa división es sólo una operación parcial en enteros. Esta limitación significa que un aritmético (con relaciones y operaciones) existe sólo para cocientes admisibles o quients bien definido.

    Esta limitación es evitada formando un aritmético de vectores de enteros, con reglas para relaciones y operaciones modeló en esos admisible para cocientes bien definidos. Otra vez, la regla de la equivalencia para cocientes bien definidos -- cuando tradujo a la equivalencia para vectores de enteros -separa los vectores en sólo 3 clases de equivalencia. Y estas formas pueden ser escondidas por signos especiales para llegar a ser el familiar aritmético de racional Los números. La división llega a ser una operación total, sin estafar.

    EVITAR A NUMEROS VERDADEROS

    La exponenciación tiene dos inversos. fg = fh si, y sólo si, g = h: La exponenciación "superior", proporcionando para un inverso "superior". También, uw = vw si, y sólo si, u = v: La exponenciación "más baja", proporcionando para un inverso más "bajo".

    ¡La advertencia! ¡La exponenciación no es conmutativa! Un solo ejemplo muestra esto: 23 = 8 pero 32 = 9. De ahí, a diferencia de los casos para la adición y la multiplicación, la exponenciación tiene dos inversos: el logaritmo "(superior)" y arraigue la extracción ( "Más bajo"). Cada inverso lleva a un sistema diferente del número, respectivamente, los números verdaderos de números y complejo.

    La operación logb(m) = n si, y sólo si, bn = m. Pero esto se define sólo para n > 0 : Los logaritmos admisibles. Un arithmetci de logaritmos admisibles proporciona un modelo, que se puede formular como vectores de componentes infinitos. Esto es evitado por un aritmético de números de decimal, o verdadero Los números, que proporciona el inverso logarítmico de cualquier número, sin estafar.

    EVITAR POR NUMEROS COMPLEJOS

    (s)1/r = t si y sólo si, tr = s. Esto es racional o verdadero si, y sólo si, s > 0: "Admisible", proporcionando para un aritmético de raíces admisibles. Este sistema limitado se puede evitar con vectores de números verdaderos con reglas como Hamilton los desarrolló. Sin embargo, algo sucede aquí que tiene sólo fue notado aquí, y explica el aritmético de Números de Clifford.

    En todos sistemas previos de vector, los componentes de vector no son seprated en los inversos, empezando con la sustracción. Pero, en el caso presente, los primeros y segundos componentes se quedan separa en la sustracción, formando un bimodul.

    Esto significa que eses números del complejo como vectores no se pueden evitar ni pueden ser escondidos por una forma simplificada, como eran previamente posible para enteros, para los números racionales, y para los números verdaderos. Y esto lleva al arithmeti de Números de Clifford, Ci, para integrante i 2. Esto termina la parte que evita de engendrar aritmético.

    Veamos cómo nosotros ENGENDRE ENTEROS.